Profondità (algebra)

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In algebra commutativa, la profondità (o grado) di un modulo è un invariante usato specialmente nello studio degli anelli noetheriani. In particolare, è usato per definire gli anelli di Cohen-Macaulay.

Successioni regolari[modifica | modifica sorgente]

Sia I un ideale di un anello commutativo unitario A e sia M un A-modulo tale che IM\neq M. Una successione a_1,\ldots,a_n di elementi di I è una I-successione regolare di M se, per ogni i compreso tra 1 ed n l'elemento a_i non è un divisore dello zero del modulo M/(a_1,\ldots,a_{n-1})M.

In generale, la permutazione di una successione regolare non è una successione regolare; ad esempio, se K è un campo e A=M=K[x,y,z] è l'anello dei polinomi in tre indeterminate, allora (x-1)y,x,(x-1)z è una successione regolare, ma non lo è (x-1)y,(x-1)z,x, in quanto (x-1)z è un divisore dello zero di A/(x-1)yA. Se A è noetheriano, una condizione sufficiente perché ogni permutazione di una permutazione regolare sia ancora una successione regolare è che l'ideale I sia contenuto nel radicale di Jacobson; in particolare, questo avviene se A è un anello locale.

Una I-successione regolare a_1,\ldots,a_n è massimale se non può essere ulteriormente allungata, ovvero se tutti gli elementi di A sono divisori dello zero di M/(a_1,\ldots,a_n)M. In generale, due successioni regolari massimali possono avere lunghezze diverse; questo non avviene però se A è un anello noetheriano e M è un A-modulo finitamente generato.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia I un ideale di un anello commutativo unitario A e sia M un A-modulo tale che IM\neq M. La profondità di M rispetto ad I è la massima lunghezza di una I-successione regolare di M; se non vi sono I-successioni regolari, la profondità è 0, mentre se vi sono successioni arbitrariamente lunghe, o successioni infinite, la profondità è infinita. Viene indicata con \mathrm{depth}_I(M) (dall'inglese depth = profondità).

Se M=A, allora \mathrm{depth}_I(A) è indicato anche come \mathrm{depth}(I) ed è detto la profondità di I. Se inoltre A è un anello locale con ideale massimale \mathfrak{m}, allora \mathrm{depth}(\mathfrak{m}) è chiamato profondità di A, ed è indicato con \mathrm{depth}(A).

Nel caso degli anello noetheriani locali, una definizione equivalente può essere data attraverso l'algebra omologica: la I-profondità di M è il minimo intero i tale che \operatorname{Ext}^i(R/I,M)\neq 0 (dove \operatorname{Ext} indica il funtore Ext).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Un modulo M ha profondità 0 rispetto ad I se e solo se I è contenuto nell'insieme dei divisori dello zero di M; in particolare, \mathrm{depth}(I)=0 se e solo se tutti gli elementi di I sono divisori dello zero. Di conseguenza, se A è un dominio d'integrità allora tutti gli ideali non nulli (e, quindi, l'anello stesso) hanno profondità positiva.

Quando l'anello è noetheriano, si può legare la profondità di un ideale ad altre sue caratteristiche. In questo caso, la profondità di un ideale I è uguale a quella del suo radicale, ed esiste sempre un ideale primo contenente I che ha la stessa profondità di I. Questo permette, procedendo per induzione, di dimostrare che la profondità di I è sempre minore o uguale della sua altezza. Un anello noetheriano tale che \mathrm{depth}(I)=h(I) per ogni ideale I è detto anello di Cohen-Macaulay.

Sempre nel caso noetheriano, la profondità di un modulo finitamente generato M rispetto ad un ideale I è sempre minore o uguale del numero di elementi necessari a generare I. Se inoltre I=(a_1,\ldots,a_n) è contenuto nel radicale di Jacobson di A, allora \mathrm{depth}_I(M)=n se e solo se a_1,\ldots,a_n è una successione regolare. Questi due risultati sono noti come teoremi di unmixedness.

È anche possibile legare la profondità di un modulo con quella delle sue localizzazioni. Infatti, se S è una parte moltiplicativa di A, allora una successione regolare a_1,\ldots,a_n di M è anche una successione regolare di S^{-1}M, purché (a_1,\ldots,a_n)S^{-1}M\neq S^{-1}M. In particolare, se S^{-1}IM\neq S^{-1}M, allora \mathrm{depth}_I(M)\leq\mathrm{depth}_{S^{-1}I}(S^{-1}M), e dunque \mathrm{depth}(I)\leq\mathrm{depth}(S^{-1}I). Se A è noetheriano, per ogni ideale I esiste sempre un ideale massimale \mathfrak{m} che contiene I tale che \mathrm{depth}(I)=\mathrm{depth}(I_\mathfrak{m}). In particolare, la profondità di \mathfrak{m} è uguale alla profondità dell'ideale massimale di A_\mathfrak{m}.

Un'importante proprietà della profondità è espressa dalla formula di Auslander-Buchsbaum, che afferma che, se A è un anello locale noetheriano ed M è un A-modulo finitamente generato e di dimensione proiettiva \mathrm{pd}_A(M) finita, allora

\mathrm{pd}_A(M)+\mathrm{depth}(M)=\mathrm{depth}(A).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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