Modulo iniettivo

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In matematica, un modulo iniettivo è un modulo con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero Q è iniettivo se, per ogni modulo M che lo contiene, esiste un sottomodulo N di M tale che M è la somma diretta di N e Q.

Questo concetto è il duale di quello di modulo proiettivo; è stato introdotto da Reinold Baer nel 1940. Un esempio di modulo iniettivo è lo \mathbb{Z}-modulo \mathbb{Q} dei numeri razionali.

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un anello e Q un A-modulo sinistro (definizioni totalmente analoghe possono essere date per moduli destri). La definizione precedente (Q è iniettivo se è addendo di ogni modulo che lo contiene) può essere espressa in termini di successioni esatte: Q è iniettivo se e solo se ogni successione esatta corta

0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0

si spezza, ovvero se M=Q\oplus g^{-1}(N) (dove g è la mappa da M a N).

È possibile caratterizzare i moduli iniettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: Q è un modulo iniettivo se e solo se per ogni omomorfismo iniettivo di A-moduli sinistri f : XY e per ogni omomorfismo g : XQ esiste un omomorfismo di moduli h : YQ tale che hf = g, cioè tale da far commutare il seguente diagramma:

Diagrammadefinizionemoduloiniettivo.png

Il criterio di Baer afferma inoltre che è sufficiente che questa proprietà valga per Y = A e per ogni ideale X.

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la teoria delle categorie: Q è iniettivo se e solo se il funtore Hom_A(-,Q) è esatto; usando il funtore Ext, Q è iniettivo se Ext^1_A(M,Q)=0 per ogni A-modulo M.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo abeliano G (cioè uno \mathbb{Z}-modulo) è iniettivo se e solo se è divisibile, cioè se per ogni g\in G e per ogni n\in\mathbb{Z} esiste un h\in G tale che nh = g; lo stesso vale per ogni dominio ad ideali principali.

Se A è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti K è un A-modulo iniettivo; se inoltre A è un dominio di Dedekind, anche K/A è un modulo iniettivo.

Se K è un campo, tutti i K-moduli (ovvero tutti i K-spazi vettoriali) sono iniettivi. Se tutti gli A-moduli sono iniettivi, A è detto semisemplice; questo avviene se e solo se tutti gli A-moduli sono proiettivi, e se e solo se la dimensione globale di A è 0.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto Q=\prod Q_i è un modulo iniettivo se e solo se lo è ogni Qi; tuttavia, né i sottomoduli né i moduli quoziente di un modulo iniettivo sono necessariamente iniettivi.

Ogni A-modulo M può essere immerso in un A-modulo iniettivo; esiste inoltre un modulo iniettivo Q (detto inviluppo iniettivo di M) che è "il più piccolo modulo iniettivo" che contiene M, nel senso che ogni sottomodulo di Q interseca M in modo non banale. L'inviluppo iniettivo di M è unico a meno di isomorfismi.

Risoluzioni iniettive[modifica | modifica wikitesto]

Una risoluzione iniettiva di un modulo M è una successione esatta

0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow\cdots

dove i Qi sono moduli iniettivi; poiché ogni modulo è contenuto in un modulo iniettivo, ogni M ha una risoluzione iniettiva. Se Qk è il modulo nullo per k > n, la risoluzione è detta finita; il minimo n per cui questo avviene - ovvero il minimo n per cui esiste una risoluzione finita

0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow 0

è detto dimensione iniettiva di M; se M non ha una risoluzione finita, la sua dimensione è infinita. La dimensione iniettiva misura in un certo senso quanto un modulo "è lontano dall'essere iniettivo": infatti, la dimensione iniettiva di un modulo è 0 se e solo se è iniettivo (corrispondente alla risoluzione finita 0\longrightarrow M\longrightarrow M\longrightarrow 0). Un anello commutativo noetheriano A la cui dimensione iniettiva (come modulo su sé stesso) è finita è detto anello di Gorenstein.

L'estremo superiore delle dimensioni iniettive degli A-moduli è detto dimensione globale (o omologica) di A.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5.
  • (EN) Pete L. Clark, Commutative Algebra. URL consultato il 5 novembre 2011.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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