Campo dei quozienti

In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario D è un campo F tale che ogni elemento di F può essere scritto come il prodotto $ab^{-1}$, dove a e b sono elementi di D e b è diverso dallo zero di D.

Ad esempio, l'insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo F coincide con sé stesso.

È un caso particolare di localizzazione di un anello.

Costruzione

La costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano $D\times (D\setminus\{0\})$ si definisce la relazione di equivalenza

$(a,b)\sim (c,d) \iff ad=bc$

Nell'insieme quoziente F di questa relazione si definiscono poi le due operazioni

$\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(ad+bc,bd)}$

$\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(ac,bd)}$

che sono operazioni interne e definite in F e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di F gli elementi del tipo $\overline{(a,1)}$ rappresentano gli elementi di D, ovvero l'insieme $D^*=\{\overline{(a,1)}|a\in D\}\subset F$ è una copia isomorfa di D.

Proprietà

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

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