Teorema del massimo modulo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se la funzione f(z) è analitica in un dominio A racchiuso da una curva \gamma su cui la funzione è continua allora |f(z)| non può raggiungere il suo valore massimo all'interno di A ma sulla curva \gamma.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Se f(z) è una funzione analitica in un dominio A e \gamma è una curva semplice e chiusa tutta contenuta in A, allora vale la rappresentazione della formula integrale di Cauchy: nei punti z_0 interni ad A vale

\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z-z_0} \ dz = f(z_0)

Mentre per ogni punto z_0 esterno ad A vale

\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z-z_0} \ dz = 0

Poiché l'insieme A è chiuso e limitato e la funzione è continua per il teorema di Weierstrass esistono il massimo e il minimo della funzione. Dalla disuguaglianza di Darboux possiamo scrivere:

|f(z_0)| \le \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma} \frac{|f(z)|}{|z-z_0|} \ |dz| \le \frac{Ml}{2\pi \delta}

dove M = \max_{z \in \gamma} |f(z)| e \delta = \min_{z \in \gamma} |z-z_0|

Dalla derivate della formula integrale di Cauchy:

|f(z_0)|^{n} \le \frac{M^{n} l}{2 \pi \delta} \Longrightarrow |f(z_0)| \le M \left ( \frac{l}{2\pi \delta} \right)^{\frac{1}{n}}

dove l'ultima frazione, al tendere all'infinito di n, tende a 1, quindi |f(z_0)| \le M, c.v.d.

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio A.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
  • (EN) Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76-77, 1999.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica