Teorema di Liouville (analisi complessa)

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Il teorema di Liouville è un teorema dell'analisi complessa riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere.

Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di \mathbb{C} attraverso una funzione intera non costante è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto.

Permette inoltre di ottenere una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} una funzione intera. Se esiste M \in \R tale che |f(z)|\leq M per ogni z\in\mathbb{C}, ovvero se f è limitata, allora f è costante.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Dato che f è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:

 f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n

Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:

a_n=\frac{1}{2\pi  i}\oint_{C_R}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}d\xi

dove C_R è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio R, abbastanza grande da contenere z.

Applicando il lemma di Darboux si ottiene la seguente disuguaglianza:

|a_n|\leq \bigg|\frac{1}{2\pi  i}\oint_{C_R}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}d\xi
 \bigg|\leq\frac{1}{2\pi R^{n+1}}\max_{C_R}|f|(2\pi R)=\frac{1}{R^n}\max_{C_R}|f|

Se si impone adesso che il modulo di f sia limitato dal numero positivo M, si vede che per tutti gli n naturali diversi da 0, la quantità M/{R^n} e di conseguenza a_n tende a 0 se R tende all'infinito. Di conseguenza a_n=0 per ogni n\neq 0, che è la tesi.

Estensione[modifica | modifica sorgente]

Un'estensione del teorema si può operare indebolendo le ipotesi, ossia richiedendo non che la funzione si limitata, ma che essa abbia valori in un semipiano.

Sia f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} una funzione intera. Se f(\mathbb{C}) è contenuta in un semipiano, allora f è costante.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Senza ledere la generalità possiamo supporre che il semipiano sia il semipiano individuato dai numeri complessi avente parte reale positiva. Detta u la parte reale di f, risulta quindi che u è armonica (poiché parte reale di una funzione olomorfa) e positiva, quindi u è costante. Dalle relazioni di Cauchy-Riemann si ha anche che f è costante.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) V.S. Vladimirov, Methods of the theory of functions of several complex variables , M.I.T. (1966)
  • (FR) G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie , Bachelier (1850) pp. 609–616
  • (RU) A.V. Bitsadze, Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable , Moscow (1972)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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