Funzione antiolomorfa

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In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte.

Una funzione f definita in un insieme aperto A nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se \Re (f) e \Im (f) sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a z è identicamente nulla in A. Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che f sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a \bar z sia nulla.

Dalla relazione \frac{\overline{\partial f}}{\partial z}= \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} segue che f è antiolomorfa se e solo se \bar f è olomorfa.

Osserviamo che se g(z) è una funzione olomorfa in un insieme aperto D, allora f(z):=g(\bar z) è una funzione antiolomorfa in \bar D, dove \bar D è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme D; in altre parole, \bar D è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di D. Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile \bar z in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da z che da \bar z non può essere olomorfa né antiolomorfa.


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