Funzione antiolomorfa

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In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte.

Una funzione definita in un insieme aperto nel piano complesso è detta antiolomorfa se la sua derivata rispetto a \bar z esiste in tutti i punti dell'insieme, dove \bar z indica il complesso coniugato di z.

Ne segue che se g(z) è una funzione olomorfa in un insieme aperto D, allora f(z):=g(\bar z) è una funzione antiolomorfa in \bar D, dove \bar D è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme D; in altre parole, \bar D è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di D. Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile \bar z in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Una funzione che dipenda sia da z che da \bar z non può essere olomorfa né antiolomorfa.


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