Macchina di Turing

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Una rappresentazione grafica di una macchina di Turing.

Una macchina di Turing (o più brevemente MdT) è una macchina ideale che manipola i dati contenuti su un nastro di lunghezza potenzialmente infinita, secondo un insieme prefissato di regole ben definite. In altre parole, è un modello astratto che definisce una macchina in grado di eseguire algoritmi e dotata di un nastro potenzialmente infinito su cui può leggere e/o scrivere dei simboli.

È un potente strumento teorico che viene largamente usato nella teoria della calcolabilità e nello studio della complessità degli algoritmi, in quanto è di notevole aiuto agli studiosi nel comprendere i limiti del calcolo meccanico. La sua importanza è tale che oggi, per definire in modo formalmente preciso la nozione di algoritmo, si tende a ricondurlo alle elaborazioni effettuabili con macchine di Turing.

La MdT come modello di calcolo è stata introdotta nel 1936 da Alan Turing per dare risposta all'Entscheidungsproblem (problema di decisione) proposto da Hilbert nel suo programma di fondazione formalista della matematica.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Essa ha la particolarità di essere retta da regole di natura molto semplice, ovvero di potersi descrivere come costituita da meccanismi elementari molto semplici; inoltre è possibile presentare a livello sintetico le sue evoluzioni mediante descrizioni meccaniche piuttosto intuitive. D'altra parte, essa ha la portata computazionale (potere computazionale) che si presume essere la massima: si dimostra, infatti, che essa è in grado di effettuare tutte le elaborazioni effettuabili dagli altri modelli di calcolo noti all'uomo. Tra questi modelli di calcolo ricordiamo le funzioni ricorsive di Jacques Herbrand e Kurt Gödel, il lambda calcolo di Alonzo Church e Stephen Kleene, la logica combinatoria di Moses Schönfinkel e Haskell Curry, gli algoritmi di Markov, i sistemi di Thue, i sistemi di Post, le macchine di Hao Wang e le macchine a registri elementari o RAM astratte di Marvin Minsky. Di conseguenza si è consolidata la convinzione che per ogni problema calcolabile esista una MdT in grado di risolverlo: questa è la cosiddetta congettura di Church-Turing, la quale postula in sostanza che per ogni funzione calcolabile esista una macchina di Turing equivalente, ossia che l'insieme delle funzioni calcolabili coincida con quello delle funzioni ricorsive.

Gli algoritmi che possono essere implementati da una MdT si dicono "algoritmi Turing-computabili".

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Della MdT vengono considerate molteplici varianti (models) che si dimostrano avere la stessa portata. Qui partiamo da una variante piuttosto semplice che possiamo chiamare macchina di Turing deterministica a un nastro e con istruzioni a cinque campi. Altre varianti sono presentate più avanti.

Introduzione informale[modifica | modifica sorgente]

La macchina può agire sopra un nastro che si presenta come una sequenza di caselle nelle quali possono essere registrati simboli di un ben determinato alfabeto finito; essa è dotata di una testina di lettura e scrittura (I/O) con cui è in grado di effettuare operazioni di lettura e scrittura su una casella del nastro. La macchina si evolve nel tempo e ad ogni istante si può trovare in uno stato interno ben determinato facente parte di un insieme finito di stati. Inizialmente sul nastro viene posta una stringa che rappresenta i dati che caratterizzano il problema che viene sottoposto alla macchina. La macchina è dotata anche di un repertorio finito di istruzioni che determinano la sua evoluzione in conseguenza dei dati iniziali. L'evoluzione si sviluppa per passi successivi che corrispondono a una sequenza discreta di istanti successivi. Le proprietà precedenti sono comuni a molte macchine formali (automa a stati finiti, automa a pila, ...). Caratteristica delle MdT è quella di disporre di un nastro potenzialmente infinito, cioè estendibile quanto si vuole qualora questo si renda necessario.

Ogni passo dell'evoluzione viene determinato dallo stato attuale s nel quale la macchina si trova e dal carattere c che la testina di I/O trova sulla casella del nastro su cui è posizionata e si concretizza nell'eventuale modifica del contenuto della casella, nell'eventuale spostamento della testina di una posizione verso destra o verso sinistra e nell'eventuale cambiamento dello stato. Quali azioni vengono effettuate ad ogni passo viene determinato dalla istruzione, che supponiamo unica, che ha come prime due componenti s e c; le altre tre componenti dell'istruzione forniscono nell'ordine il nuovo stato, il nuovo carattere e una richiesta di spostamento verso sinistra, nullo o verso destra.

Una evoluzione della macchina consiste in una sequenza di sue possibili "configurazioni", ogni configurazione essendo costituita dallo stato interno attuale, dal contenuto del nastro (una stringa di lunghezza finita) e dalla posizione sul nastro della testina di I/O. Nei casi più semplici l'evoluzione ad un certo punto si arresta in quanto non si trova nessuna istruzione in grado di farla proseguire. Si può avere un arresto in una configurazione "utile" dal punto di vista del problema che si vuole risolvere; in tal caso quello che si trova registrato sul nastro all'atto dell'arresto rappresenta il risultato dell'elaborazione. Si può avere però anche un arresto "inutile" che va considerato come una conclusione erronea dell'elaborazione. Va subito detto che può anche accadere che un'evoluzione non abbia mai fine (Vedi la successiva sezione e Problema della fermata).

Impostazione formale[modifica | modifica sorgente]

Si definisce macchina di Turing deterministica a un nastro e istruzioni a cinque campi, termine che abbreviamo con MdT1n5i, una macchina formale della seguente forma:

T = \langle S,s_0,F,A,\beta,\delta \rangle \quad \mbox{dove}

S è un insieme finito detto insieme degli stati della macchina;

s_0 è un elemento di S detto stato iniziale della T;

F è un sottoinsieme di S detto insieme degli stati finali della T;

A è un alfabeto finito detto alfabeto del nastro della T

\beta è un carattere dell'alfabeto A detto segno di casella vuota del nastro della T

\delta ~:~ S \times A \to S \times A \times \{-1,0,+1\} è detta funzione di transizione della macchina.

Se \delta(s,a)=\langle t,b,m\rangle, la corrispondente quintupla \langle s,a,t,b,m\rangle può considerarsi come l'istruzione che viene eseguita quando la macchina si trova nello stato s e la testina di I/O legge a sulla casella sulla quale è posizionata; essa comporta la transizione allo stato t, la scrittura del carattere b e:

  • quando m = -1 lo spostamento della testina di una posizione a sinistra,
  • quando m = 0 nessuno spostamento della testina,
  • quando m = +1 lo spostamento della testina di una posizione a destra.

Ampiezza della portata e congettura di Church-Turing[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Congettura di Church-Turing.

L'importanza della MdT deriva dal fatto che permette di compiere tutte le elaborazioni effettuate mediante le macchine (elettroniche o meccaniche) apparse nella storia dell'umanità, incluse le elaborazioni che oggi si eseguono con le tecnologie più avanzate e gli odierni computer, e perfino le dimostrazioni matematiche che l'umanità ha raccolto nel corso della sua storia, diciamo a partire da Euclide.

Infatti, tutte le macchine che si conoscono possono essere ricondotte al modello estremamente semplice di Turing. Ad esempio, anche i più complessi computer odierni possono essere ricondotti a questo modello:

  • Innanzitutto, si individuano macchine relativamente semplici che effettuino le operazioni aritmetiche di base, e schemi di composizione di queste macchine che permettono di calcolare tutte le funzioni che hanno in ingresso numeri naturali. Queste funzioni corrispondono alle espressioni ottenute combinando come si vuole le suddette operazioni.
  • Quindi, si individuano versioni della MdT più ricche di risorse, che consentano di descrivere più agevolmente operazioni via via più complesse e che riguardino entità discrete dei generi più vari (numeri razionali, grafi, stringhe, espressioni simboliche di varia natura, ...), ma tutte riconducibili a numeri naturali; le elaborazioni e le entità dei tipi più vari devono essere prese in considerazione per sostenere la congettura di Church-Turing.
  • Proseguendo in questa direzione, si introducono MdT dotate di memorie complesse, come sequenze di nastri e memorie bidimensionali e tridimensionali, assimilabili ai dischi e alle pile di dischi; macchine che sono dotate della capacità di organizzare le istruzioni in un modo assimilabile al richiamo di un sottoprogramma come richiesto dai linguaggi di programmazione in uso.
  • Ulteriori arricchimenti possono includere calcoli simbolici ed elaborazioni parallele.
  • A questo punto si deve anche aggiungere che della MdT risulta opportuno anche considerare varianti non deterministiche, macchine formali che sono in grado di portare avanti contemporaneamente diverse elaborazioni, in numero illimitato. Queste macchine formali, a prima vista lontane da modelli di meccanismi concretamente realizzabili, possono considerarsi idealizzazioni di sistemi di computer che operano in parallelo, sistemi che la odierna tecnologia consente di realizzare abbastanza comunemente (i cosiddetti cluster).

Con questo ragionamento si ottengono macchine formali che, in linea di principio, si possono ricondurre alla MdT introdotta inizialmente, ma che possono essere programmate molto più agevolmente, e soprattutto che possono essere realizzate con le tecnologie disponibili oggi. Dimostrare che una di queste macchine può risolvere un certo problema vuol dire dimostrare che anche la MdT può risolverlo. La conclusione è che tutte le computazioni effettuabili dalle macchine a noi note sono effettuabili anche dalla MdT.

Una macchina che permetta di risolvere tutti i problemi risolvibili anche dalla MdT si dice "Turing-equivalente". La conclusione è che tutte le computazioni effettuabili dalla MdT sono effettuabili anche da tutte le macchine di cui si è in grado di dimostrare l'equivalenza con la MdT.

Quindi, l'importanza della MdT è duplice:

  • non solo è il modello teorico di macchina più "potente" che si conosca,
  • ma può essere usato anche per verificare la potenza di nuovi modelli teorici.

È possibile dimostrare l'equivalenza con la MdT anche servendosi di un modello più semplice e che si sa già essere Turing-equivalente. Ciò permette di riutilizzare facilmente, per un certo modello di macchina, i risultati teorici ottenuti per altri modelli di macchina.
Inoltre, la MdT e gli altri modelli possono essere usati per dimostrare le capacità computazionali dei linguaggi di programmazione (in quanto vengono dimostrate le capacità delle rispettive macchine astratte).

Tutte queste considerazioni rendono ragionevole sostenere la congettura di Church-Turing. Tuttavia, esse riguardano la calcolabilità degli algoritmi, e non la loro trattabilità: macchine equivalenti sono realizzate in modo diverso, e quindi possono eseguire la stessa computazione con un diverso numero di passi o dispendio di risorse (memoria, tempo, e altre). Ad esempio, un calcolo che un odierno computer esegue in pochi secondi richiederebbe un numero enorme di passi se eseguito su un meccanismo dotato di dispositivi operativi estremamente semplici come quelli della MdT. In sintesi, macchine diverse possono risolvere gli stessi problemi con programmi che hanno una diversa complessità computazionale.

Il problema dell'arresto e la sua indecidibilità[modifica | modifica sorgente]

In talune circostanze può essere utile considerare una MdT che presenta un'evoluzione illimitata (infatti si considerano infinite le risorse di spazio e tempo a disposizione della macchina). Ad esempio interessa far procedere "illimitatamente" (cioè "quanto risulta utile") una MdT che genera gli elementi di una successione di oggetti (ad es. i successivi numeri primi, o i successivi numeri di Mersenne, o le successive cifre decimali di un numero irrazionale come pi greco). In altri casi invece un'evoluzione illimitata di una MdT è considerata un insuccesso. Quando si vuole che una MdT ricerchi in un insieme numerabile un elemento con determinate caratteristiche ed essa procede nella ricerca senza fornire alcuna indicazione, ci si trova in una situazione decisamente insoddisfacente: non si sa se interrompere un'elaborazione inutile oppure attendere ancora un risultato che potrebbe essere fornito dopo un ulteriore lavoro in tempi accettabili.

È dunque importante poter stabilire se una MdT, o un altro sistema formale equivalente ("lambda-calcolo" di Church, ad es.), quando le si sottopone una stringa (di dati) si arresti o meno. Questo è detto Problema della fermata o Problema dell'arresto della macchina di Turing. Si trovano casi nei quali si dimostra o si verifica che si ha l'arresto, casi per i quali si dimostra che l'evoluzione non si arresta ma potrebbe procedere quanto si vuole e casi per i quali non si sa dare risposta.

Sembra ragionevole cercare un procedimento generale per decidere uno di questi problemi. Dato che le MdT si rivelano in grado di risolvere tutti i problemi che si sanno risolvere con gli altri procedimenti noti, è sensato chiedersi se esiste una macchina di Turing in grado di decidere per una qualsiasi coppia (M, d) costituita da una MdT M e da una stringa di dati d se, quando si fornisce d a M, questa si evolve fino ad arrestarsi o meno. Questa richiesta è resa ancor più significativa dall'esistenza, dimostrata dallo stesso Turing, di una cosiddetta macchina di Turing universale, macchina in grado di simulare qualsiasi evoluzione di qualsiasi MdT (anche le evoluzioni di se stessa!). Ebbene Turing ha dimostrato che la macchina di Turing universale non è in grado di decidere in ogni caso il problema dell'arresto. Quindi nessuna macchina di Turing può farlo. Questo risultato negativo si esprime dicendo che il problema dell'arresto è Turing-indecidibile. Se si accetta la congettura di Church-Turing sulla portata della macchina di Turing, si conclude che il problema dell'arresto della macchina di Turing è indecidibile.

Questo risultato negativo costituisce un limite per tutti i meccanismi computazionali; esso costituisce un risultato limitativo di grande importanza generale e per lo studio degli algoritmi. L'importanza generale dipende dal fatto che ogni procedimento dimostrativo automatico si trova equivalente a una computazione che può effettuarsi con una macchina di Turing. Va posto in rilievo che la Turing-indecidibilità del problema dell'arresto si dimostra equivalente al teorema di incompletezza di Gödel, il primo fondamentale risultato limitativo per la matematica. Si trova inoltre nello studio degli algoritmi e della loro complessità che dalla indecidibilità dell'arresto si deducono abbastanza agevolmente molti altri risultati limitativi.

Varianti della macchina di Turing[modifica | modifica sorgente]

In questo paragrafo le maggiori varianti della MdT definita in precedenza vengono presentate in termini discorsivi, lasciando ad articoli specifici le considerazioni più precise e complete.

Macchina di Turing multinastro[modifica | modifica sorgente]

La MdT con più nastri differisce dalla classica sostanzialmente per il tipo della funzione di transizione; questa nel caso dei 3 nastri ha la forma

\delta ~:~ S \times A \times A \times A \to S \times A \times \{-1,0,+1\}\times A \times \{-1,0,+1\}\times A \times \{-1,0,+1\}.

Questa funzione fa dipendere la transizione da quanto viene letto sulle caselle su cui si trovano le testine relative ai diversi nastri e stabilisce quali caratteri devono essere modificati sui vari nastri e come si devono eventualmente spostare le testine.

È abbastanza evidente come questa macchina sia più semplice da usare della classica. Ad es. con essa si possono agevolmente copiare stringhe da un nastro all'altro e con porzioni di nastro si possono rendere disponibili sequenze di memorie indirizzabili abbastanza agevolmente. Con una macchina a tre nastri si può implementare molto facilmente una operazione aritmetica come la somma di due numeri espressi mediante cifre decimali. Similmente e con gli opportuni accorgimenti e con l'uso di altri opportuni registri, lo si può intuire, si riescono a implementare altre operazioni aritmetiche o su entità discrete.

Per dimostrare che una macchina a più nastri P ha la stessa portata di quelle ad un solo nastro si tratta di individuare una di queste, denotiamola M che consente di simularne le evoluzioni. Questa simulazione viene effettuata simulando su un solo nastro della M i molti nastri della P. Si possono avere configurazioni della M che simulano configurazioni della P utilizzando scritture particolari che separano le aree nelle quali sono riprodotti i diversi nastri della P e segnalano le posizioni sulle quali si trovano le varie testine di I/O. A ciascun passo della P si fa corrispondere una serie di passi della M con i quali si sistemano i vari nastri e le posizioni delle relative testine. Si può capire come con un gran numero si spostamenti e di cambiamenti di stato si possono simulare le mosse della P.

Macchina di Turing con memoria bidimensionale[modifica | modifica sorgente]

Consente di simulare abbastanza facilmente macchine a più nastri e di effettuare elaborazioni grafiche. Ulteriori varianti possono servirsi di memorie tridimensionali e simili.

Macchina di Turing non deterministica[modifica | modifica sorgente]

La macchina di Turing non deterministica si distingue da quella deterministica definita in precedenza per il fatto che, in presenza di un determinato stato e di un determinato carattere letto, essa permette più transizioni.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una macchina di Turing non deterministica T, con grado di non determinismo n, è così definita:

T = \langle S,s_0,F,A,\beta,n,\delta \rangle \quad

dove le sole differenze rispetto alla definizione iniziale riguardano la presenza dell'intero n e il genere della funzione di transizione:

\delta ~:~ S \times A \to (S \times A \times \{-1,0,+1\})^k ~\mbox{ dove }~ k=1,2,...,n

Le sue configurazioni consistono quindi di insiemi finiti di configurazioni deterministiche, la cui cardinalità potrebbe crescere illimitatamente con il procedere di una evoluzione.

Le computazioni che essa è in grado di svolgere sono descrivibili come insiemi di computazioni sviluppati da repliche della MdT deterministica, repliche che potrebbero rendersi necessarie ad ogni passo dell'evoluzione. Si osserva che questa richiesta oggi non dovrebbe affatto stupire, in quanto realizzabile con le tecniche dei computer collegati in rete ed effettivamente realizzata nella prassi delle elaborazioni distribuite.

Equivalenza con la MdT classica[modifica | modifica sorgente]

Dato che ogni macchina deterministica si può considerare una particolare macchina nondeterministica, si tratta di dimostrare che con una macchina deterministica M si riesce a simulare il comportamento di una macchina non deterministica N. Più precisamente supponiamo che N sia una macchina ad un nastro e che la M sia una macchina che dispone di una memoria bidimensionale, memoria assimilabile alla disponibilità di più nastri il cui numero sia aumentabile. La macchina M riesce a simulare con ciascuno dei suoi stati gli stati multipli della macchina N e con i suoi molti nastri i singoli nastri replicati della N. Ad ogni passo della N la M fa corrispondere una serie di passi con i quali fa evolvere i diversi nastri che rappresenta nella sua memoria bidimensionale e, in corrispondenza a una transizione non deterministica di molteplicità k, replica il nastro interessato trasformandolo nei k nastri richiesti.

In questo modo si vede come la macchina M possa simulare la N. Si osserva che alcuni singoli passi della macchina non deterministica richiedono un gran numero di passi e di appositi stati della deterministica.

Macchine di Turing semplificate[modifica | modifica sorgente]

Le macchine di Turing possono essere ulteriormente semplificate, senza perdita di portata computazionale. Le semplificazioni possibili sono (non attuabili contemporaneamente):

  1. nastro illimitato solo in una direzione;
  2. alfabeto di soli due caratteri, uno dei quali il simbolo blank;
  3. solo due stati.

La dimostrazione dell'equivalenza con la macchina definita inizialmente con quelle con le caratteristiche 2 e 3 costituiscono il primo teorema di Shannon.

Un ulteriore modello semplificato di MdT è quello di avere tre MdT che compiono operazioni elementari (scrittura del carattere 1, scrittura del simbolo blank, spostamento della testina a destra, spostamento a sinistra, nessuna operazione) e ottenere da queste una nuova MdT tramite composizione per diramazione.

Macchina di Turing universale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Macchina di Turing universale.

La Macchina di Turing universale è quella che calcola la funzione u, che a sua volta è in grado di simulare il comportamento di qualunque macchina di Turing. La funzione u prende in input una codifica della macchina M che si voglia eseguire (ovvero un numero che una volta decodificato fornisca il codice di M) ed una codifica dei parametri iniziali ad M.

Come nacque la macchina di Turing[modifica | modifica sorgente]

Nel 1936 venne pubblicato un articolo di Alan Mathison Turing intitolato On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, in cui l'autore risolveva negativamente l'Entscheidungsproblem o problema della decidibilità lanciato nel 1900 da David Hilbert e Wilhelm Ackermann.
La questione era stata posta da Hilbert nei seguenti termini: «esiste sempre, almeno in linea di principio, un metodo meccanico (cioè una maniera rigorosa) attraverso cui, dato un qualsiasi enunciato matematico, si possa stabilire se esso sia vero o falso?»
I vantaggi derivanti dal possedere un tale metodo sono enormi e meritano tutta l'enfasi che Hilbert e molti altri al suo seguito, diedero alla questione: un tale algoritmo sarebbe in grado di risolvere tutti i problemi matematici e, molto di più, sarebbe possibile ridurre ogni ragionamento umano a mero calcolo meccanizzabile. Una prima forte risposta la diede il matematico boemo Gödel in occasione della conferenza sull'epistemologia delle scienze esatte di Könisberg (1931), in cui espresse per la prima volta pubblicamente le idee racchiuse nel suo più celebre lavoro sull'incompletezza dei sistemi formali coerenti (primo teorema di incompletezza); Gödel dimostrò che la semplice coerenza di un sistema formale non può garantire che ciò che in esso viene dimostrato sia vero oppure falso. Il sogno di Hilbert stava già sfumando quando Turing pubblicò il suo articolo, in cui dimostrò l'insolubilità dell'entscheidungsproblem.

"Un giovane sconosciuto di nome Alan Turing risolse il quesito quasi per gioco. Con una macchina immaginaria."[1].

La soluzione proposta da Turing consiste nell'utilizzo di un modello matematico capace di simulare il processo di calcolo umano, scomponendolo nei suoi passi ultimi.
La macchina è formata da una testina di lettura e scrittura con cui è in grado di leggere e scrivere su un nastro potenzialmente infinito partizionato, in maniera discreta, in caselle. Ad ogni istante di tempo t1, la macchina si trova in uno stato interno s1 ben determinato, risultato dell'elaborazione compiuta sui dati letti.

Lo stato interno, o configurazione, di un sistema è la condizione in cui si trovano le componenti della macchina ad un determinato istante di tempo t. Le componenti da considerare sono:

  • il numero della cella osservata
  • il suo contenuto
  • l'istruzione da eseguire

Tra tutti i possibili stati, si distinguono:

  • una configurazione iniziale, per t=t0 (prima dell'esecuzione del programma)
  • una configurazione finale, per t=tn (al termine dell'esecuzione del programma)
  • delle configurazioni intermedie, per t=ti (prima dell'esecuzione dell'istruzione oi)

Implementare un algoritmo in questo contesto significa effettuare una delle quattro operazioni elementari

  • spostarsi di una casella a destra
  • spostarsi di una casella a sinistra
  • scrivere un simbolo preso da un insieme di simboli a sua disposizione su una casella
  • cancellare un simbolo già scritto sulla casella che sta osservando

oppure fermarsi.
Eseguire un'operazione o1, tra gli istanti di tempo t1 e t2, vuol dire passare dallo stato interno s1 al s2. Più formalmente questo si esprime in simboli come: {s1,a1,o1,s2} da leggersi come: nello stato interno s1 la macchina osserva il simbolo a1, esegue l'operazione o1 e si ritrova nello stato interno s2.
Turing poté dimostrare che un tale strumento, dalle caratteristiche così rigidamente definite, è in grado di svolgere un qualsiasi calcolo, ma non si fermò qui; egli capì che la calcolabilità era parente stretta della dimostrabilità e dunque, così come Gödel aveva distrutto i sogni di gloria dei Principia Mathematica di Russell e Whitehead, così le sue macchine potevano definitivamente chiudere la questione dell'Entscheidungsproblem.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ TecaLibri: Yurij Castelfranchi: Macchine come noi

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Libri[modifica | modifica sorgente]

Articoli[modifica | modifica sorgente]

  • Alan Turing (1936): On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc., 42 pp. 230-265 Accessibile anche in linea

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Macchine equivalenti alla MdT

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Appunti e dispense[modifica | modifica sorgente]

Simulatori[modifica | modifica sorgente]

Teoria degli automi: linguaggi formali e grammatiche formali
Gerarchia di Chomsky Grammatica formale Linguaggio Automa minimo
Tipo-0 (illimitato) Ricorsivamente enumerabile Macchina di Turing
(illimitato) Ricorsivo Decider
Tipo-1 Dipendente dal contesto Dipendente dal contesto Automa lineare
Tipo-2 Libera dal contesto Libero dal contesto Automa a pila ND
Tipo-3 Regolare Regolare A stati finiti
Ciascuna categoria di linguaggio o grammatica è un sottoinsieme proprio della categoria immediatamente sottostante.