Ultrafiltro

In teoria degli insiemi un ultrafiltro $\mathcal A$ è un filtro proprio sull'insieme $A$ tale che ogni sottoinsieme di $A$ o il suo complemento è contenuto in $\mathcal A$ , in formule

$\forall X \subseteq A: (X \in \mathcal A) \lor (\bar X \in {\mathcal A})$

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

Proprietà [modifica]

Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia $x$ un elemento di $A$ , e $\mathcal A$ il filtro principale generato da $x$ . Allora, per ogni sottoinsieme $S$ di $A$ , se $x \in S$ , allora $S \in \mathcal A$ . Se invece $x \not \in S$ , per la definizione di insieme complemento, $x \in {\bar S}$ e quindi $\bar S \in \mathcal A$ .

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Il filtro cofinito, cioè l'insieme $\mathcal S$ dei sottoinsiemi cofiniti di $A$ , non è un ultrafiltro. Infatti sia $S$ un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di $A$ tranne un numero finito. Se $A$ è finito, $\mathcal S$ non è un filtro proprio: infatti l'insieme $A\setminus \{x\}$ ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in $\mathcal S$ , ma contiene $\varnothing$ e dunque non è un filtro proprio. Se invece $A$ è infinito, $\exists X \subset A$ tale che sia $X$ che $\bar X$ sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in $\mathcal S$ .