Ultrafiltro

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In teoria degli insiemi un ultrafiltro \mathcal A è un filtro proprio sull'insieme A tale che ogni sottoinsieme di A o il suo complemento è contenuto in \mathcal A, in formule

\forall X \subseteq A: (X \in \mathcal A) \lor (\bar X \in {\mathcal  A})

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia x un elemento di A, e \mathcal A il filtro principale generato da x. Allora, per ogni sottoinsieme S di A, se  x \in S, allora  S \in \mathcal A. Se invece  x \not \in S, per la definizione di insieme complemento,  x \in {\bar S} e quindi  \bar S \in \mathcal A.

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Il filtro cofinito, cioè l'insieme \mathcal S dei sottoinsiemi cofiniti di A, non è un ultrafiltro. Infatti sia S un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di A tranne un numero finito. Se A è finito, \mathcal S non è un filtro proprio: infatti l'insieme A\setminus \{x\} ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in \mathcal S, ma contiene \varnothing e dunque non è un filtro proprio. Se invece A è infinito, \exists X \subset A tale che sia X che \bar X sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in \mathcal S.

Ultrafiltro limite[modifica | modifica wikitesto]

Ultrafiltro libero[modifica | modifica wikitesto]

Un ultrafiltro \mathcal{U} su di un insieme A si definisce libero quando contiene il filtro cofinito F_A.

Si può dimostrare che è impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Paolo Lipparini, Limit ultrapowers and abstract logics in The Journal of Symbolic Logic, vol. 52, nº 2, giugno 1987, pp. 437-454.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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