Somma disgiunta

La somma disgiunta (o unione disgiunta) di due insiemi corrisponde all'unione insiemistica, realizzata in modo da considerare distinti elementi appartenenti ad insiemi distinti.

Definizione

Dati due insiemi $A$ e $B$, la somma disgiunta di $A$ e $B$ è l'insieme:

$A + B = ( A \times \{0\}) \cup (B \times \{1\})$.

La definizione si può facilmente estendere per induzione alla somma disgiunta di un numero finito di insiemi, e anche alla somma di una qualunque famiglia di insiemi $\{ A_i \}_{i \in I}$:

$\sum_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} (A_i \times \{i\})$.

Proprietà

• Nel caso di insiemi disgiunti, la somma disgiunta è in corrispondenza biunivoca in modo naturale con l'unione insiemistica. Nel caso di due insiemi $A, B$ disgiunti, ad esempio, questa corrispondenza è la funzione da $A \cup B$ a $A + B$ che manda $a \in A$ in $(a, 0)$ e $b \in B$ in $(b, 0)$.
• Se gli insiemi sono tutti uguali fra loro ($A_i = A \, \forall i \in I$), la loro somma disgiunta coincide con il prodotto cartesiano $A \times I$.
• La somma delle cardinalità di due insiemi è data dalla cardinalità della loro somma disgiunta.
• Nel linguaggio SQL, la somma disgiunta corrisponde all'operatore UNION ALL.

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Cardinalità di un insieme
• Prodotto cartesiano

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