Insieme di Vitali

L'insieme di Vitali prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali e fornisce un esempio di sottoinsieme di $\mathbb R$ che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita (in particolare dalla misura di Lebesgue). Per la costruzione dell'insieme di Vitali è indispensabile l'assioma della scelta.

La costruzione procede nel seguente modo:

Definiamo sui numeri reali dell'intervallo $[0,1]$ la seguente relazione di equivalenza: diciamo che x è equivalente a y se la loro differenza è un numero razionale;
Consideriamo l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme $[0,1]$ stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).
L'assioma della scelta ci dice che esiste un insieme che contiene esattamente un rappresentante di ogni classe, chiamiamolo $V$ : è l'insieme di Vitali.

[modifica] Dimostrazione della non misurabilità di $V$

L'insieme di Vitali ha le seguenti proprietà:

Se lo trasliamo di una quantità pari ad un qualsiasi numero razionale strettamente positivo, occuperà punti completamente diversi da quelli che occupava inizialmente. Più formalmente stiamo dicendo che l'insieme $V$ e il suo traslato $V+q$ sono disgiunti per qualsiasi $q \in \mathbb Q\diagdown \{ 0 \}$ . Questo perché se per assurdo fosse $V\cap T_{q}(V)\neq\emptyset$ , dove $T_{q}(V)=V+q$ con $q\in\mathbb{Q}\diagdown \{ 0 \}$ , esisterebbero $x,y\in V$ distinti, e quindi con $(y-x)\notin\mathbb{Q}$ essendo rappresentanti di diverse classi di equivalenza, tali che $y=T_{q}(x)$ . Ma allora, $y=x+q$ , ovvero $(y-x)=q\in\mathbb{Q}$ , che è assurdo avendo osservato che $(y-x)\notin\mathbb{Q}$ per ogni $x,y\in V$ distinti.
Dato un qualunque punto $x \in [0,1]$ questo apparterrà a qualcuna delle traslazioni $V+q$ con $q \in \mathbb Q$ : infatti $x$ apparterrà a qualcuna delle classi di equivalenza definite sopra, e sappiamo che in $V$ c'è un rappresentante di ogni classe, quindi in $V$ c'è un punto che dista da $x$ una quantità pari ad un numero razionale.

Dalle proprietà enunciate discende la non misurabilità di $V$ nel caso in cui la misura $\mu$ verifichi le seguenti proprietà:

per ogni insieme $A$ $\mu(x+A)=\mu(A)$ (invarianza per traslazioni)
$\mu(\mathbb R)\neq 0$ (positività)
$\mu([a,b])<\infty$ per ogni $a$ , $b$ (grazie all'invarianza per traslazioni affinché valga questa condizione è sufficiente assumere che $\mu$ è una misura sigma-finita)

Per dimostrare la non misurabilità di V rispetto alla misura μ assumiamo che sia definito il valore di μ(V) e deriviamo una contraddizione con le ipotesi.

Consideriamo l'insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di $V$ di numeri razionali compresi tra $-1$ e $1$ . A tale scopo consideriamo prima una enumerazione dei razionali di $[-1,1]$ : $q_1, q_2, q_3,...$ e definiamo l'insieme

$U=(V+q_1) \cup (V+q_2) \cup ... \cup (V+q_n) \cup \dots \,\!$

Osserviamo subito che $\mu(U)<\infty$ perché $U$ è un insieme limitato ( $U \subset [-1,2]$ e quindi viene dalla terza proprietà di $\mu$ ). Poiché $U$ è un'unione disgiunta di insiemi, per le proprietà delle misure abbiamo che

$\mu(U)=\mu(V+q_1)+\mu(V+q_2)+... +\mu(V+q_n)+\dots \,\!$

e per l'invarianza di $\mu$ per traslazioni

$\mu(U)=\mu(V)+\mu(V)+... +\mu(V)+\dots \,\!$

ma poiché la quantità a sinistra dell'uguaglianza è finita, la relazione appena scritta implica che $\mu(V)=0$ , e quindi anche $\mu(U)=0$ .

Abbiamo osservato prima, però, che ogni $x\in[0,1]$ si trova in uno dei $V+q_n$ , quindi $U$ deve includere tutto l'intervallo $[0,1]$ , ma allora (dalle proprietà delle misure) $\mu([0,1])\leq\mu(U)$ , e abbiamo visto poco fa che quest'ultima è nulla, quindi $\mu([0,1])=0$ , e per l'invarianza per traslazioni dovremo avere anche $\mu(\mathbb R)=0$ , il che contraddice le ipotesi su $\mu$ . $\square$