Insieme di Vitali

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In matematica, l'insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme di \mathbb R che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita (in particolare non è misurabile rispetto alla misura di Lebesgue). Per la costruzione dell'insieme di Vitali è indispensabile l'assioma della scelta.

La costruzione procede nel seguente modo:

  • Si definisce sui numeri reali dell'intervallo [0,1] la seguente relazione di equivalenza: si dice che x è equivalente a y se la loro differenza è un numero razionale.
  • Si considera l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile, poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme [0,1] stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).
  • Per l'assioma della scelta esiste un insieme che contiene esattamente un rappresentante di ogni classe, chiamiamolo V: è l'insieme di Vitali.

Dimostrazione della non misurabilità di V[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme di Vitali ha le seguenti proprietà:

  • Se lo si trasla di una quantità pari ad un qualsiasi numero razionale strettamente positivo, occuperà punti completamente diversi da quelli che occupava inizialmente. Più formalmente, l'insieme V e il suo traslato V+q sono disgiunti per qualsiasi q \in \mathbb Q \setminus \{ 0 \}. Questo perché se per assurdo fosse V\cap T_{q}(V)\neq\emptyset, dove T_{q}(V)=V+q con q\in\mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}, esisterebbero x,y\in V distinti, e quindi con (y-x)\notin\mathbb{Q} essendo rappresentanti di diverse classi di equivalenza, tali che y=T_{q}(x). Ma allora, y=x+q, ovvero (y-x)=q\in\mathbb{Q}, che è assurdo avendo osservato che (y-x)\notin\mathbb{Q} per ogni x,y\in V distinti.
  • Dato un qualunque punto x \in [0,1], questo apparterrà a qualcuna delle traslazioni V+q con q \in \mathbb Q: infatti x apparterrà a qualcuna delle classi di equivalenza definite sopra, e dato che in V c'è un rappresentante di ogni classe, allora in V c'è un punto che dista da x una quantità pari ad un numero razionale.

Dalle proprietà enunciate discende la non misurabilità di V nel caso in cui la misura \mu verifichi le seguenti proprietà:

  • per ogni insieme A si verifica l'invarianza per traslazioni, ovvero \mu(x+A)=\mu(A).
  • positività: \mu(\mathbb R)\neq 0
  • si verifica \mu([a,b])<\infty per ogni a, b. Grazie all'invarianza per traslazioni, affinché valga questa condizione è sufficiente assumere che \mu è una misura sigma-finita.

Per dimostrare la non misurabilità di V rispetto alla misura \mu si assume che sia definito il valore di \mu(V) e si ricava una contraddizione con le ipotesi. Si consideri l'insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di V di numeri razionali compresi tra -1 e 1. A tale scopo, si prenda inizialmente una enumerazione q_1, q_2, q_3, \dots dei razionali di [-1,1], e si definisca l'insieme:

U=(V+q_1) \cup (V+q_2) \cup \dots \cup (V+q_n) \cup \dots

Si osserva che \mu(U)<\infty perché U è un insieme limitato (U \subset [-1,2] e quindi viene dalla terza proprietà di \mu). Poiché U è un'unione disgiunta di insiemi, per le proprietà delle misure si ha che:

\mu(U)=\mu(V+q_1)+\mu(V+q_2)+\dots +\mu(V+q_n)+\dots

e per l'invarianza di \mu per traslazioni:

\mu(U)=\mu(V)+\mu(V)+ \dots +\mu(V)+\dots

ma poiché la quantità a sinistra dell'uguaglianza è finita, la relazione appena scritta implica che \mu(V)=0, e quindi anche \mu(U)=0. Si è osservato prima, tuttavia, che ogni x\in[0,1] si trova in uno dei V+q_n, quindi U deve includere tutto l'intervallo [0,1]. Ma allora, dalle proprietà delle misure, si ha \mu([0,1])\leq\mu(U) e si è visto che quest'ultima è nulla, quindi \mu([0,1])=0 e per l'invarianza per traslazioni si deve avere anche \mu(\mathbb R)=0, il che contraddice le ipotesi su \mu.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006, p. 120.
  • Giuseppe Vitali, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta in Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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