Assioma di regolarità

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Nella teoria degli insiemi, l'assioma di regolarità (noto anche come assioma della fondatezza o assioma di fondazione) è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel l'assioma si scrive:

\forall A: A \neq \{\} \Rightarrow \exists B: B \in A \land \lnot \exist C: C \in A \land C \in B

Oppure a parole:

Ogni insieme non vuoto A contiene un elemento B disgiunto da A.

Due risultati che seguono dall'assioma sono "nessun insieme è un elemento di sé stesso" e "non esiste una successione infinita (an) tale che ai+1 è un elemento di ai per ogni i".

Assieme all'assioma della scelta, questo risultato può essere invertito: se non esistono successioni infinite di quel tipo, allora l'assioma di regolarità è vero. Quindi le due affermazioni sono equivalenti.

Vi sono teorie degli insiemi non standard che, oltre ad omettere l'assioma di regolarità, hanno addirittura postulato l'esistenza di insiemi che sono elementi di sé stessi.

Inoltre[1], tutti i risultati della matematica ordinaria continuano a valere anche in assenza di tale assioma, a patto di restringerli ai soli insiemi ben fondati.

Implicazioni elementari[modifica | modifica wikitesto]

L'assioma di regolarità implica che nessun insieme è elemento di sé stesso

Sia A un insieme tale che A sia un elemento di sé stesso e definiamo l'insieme B = {A}, che esiste per l'assioma della coppia. Applicando l'assioma di regolarità a B, vediamo che l'unico elemento di B, vale a dire A, deve essere disgiunto da B. Ma l'intersezione di A e B è proprio A. Quindi B non soddisfa l'assioma di regolarità e abbiamo una contraddizione, dimostrando che A non può esistere.

L'assioma di regolarità implica che non esiste nessuna successione infinita discendente di insiemi.

Sia f una funzione dei numeri naturali tale che f(n+1) sia un elemento di f(n) per ogni n. Definiamo S = {f(n): n numero naturale} come l'immagine di f, che può essere vista come insieme dalla definizione formale di funzione. Applicando l'assioma di regolarità ad S, sia f(k) un elemento di S disgiunto da S. Ma per la definizione di f e S, f(k) e S hanno un elemento in comune (vale a dire f(k+1)). Abbiamo una contraddizione, quindi non esiste tale f.

Assumendo l'assioma della scelta, l'assenza di successioni infinite discendenti implica l'assioma di regolarità

Sia l'insieme vuoto S un controesempio dell'assioma della regolarità; cioè, ogni elemento non vuoto s di S ha una intersezione non vuota con S. Sia g una funzione di scelta per S, cioè un'applicazione tale che g(s) è un elemento di s per ogni insieme non vuoto s di S. Ora definamo ricorsivamente la funzione f sugli interi non negativi come segue:

f(0) = g(S)
f(n+1) = g(f(n) \cap S).

Allora per ogni n, f(n) è un elemento di S e così pure l'intersezione con S è non vuota, quindi f(n+1) è ben definita ed è un elemento di f(n). Allora f è un'infinita catena discendente. Questa è una contraddizione, quindi non esiste tale S.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ K. Kunen, Set Theory, 1980, pp. 100-101.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Set Theory Handout contiene una descrizione informativa dell'assioma di regolarità, nella sezione della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
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