Assioma della coppia

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Nella teoria degli insiemi l'assioma della coppia è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Frankel, l'assioma si scrive:

\forall A, \forall B, \exist C, \forall D: D \in C \iff (D = A \or D = B)

oppure a parole:

Dato un generico insieme A e dato un generico insieme B, esiste un insieme C tale che, dato un generico insieme D, D è un elemento di C se e solo se D è uguale ad A o D è uguale a B.

Quello che l'assioma in pratica sta dicendo è che, dati due insiemi A e B, possiamo trovare un insieme C i cui elementi sono esattamente A e B. Possiamo usare l'assioma di estensionalità per mostrare che questo insieme C è unico. Chiamiamo questo insieme coppia di A e B, e lo indichiamo con {A,B}. Quindi l'essenza dell'assioma è:

Per ogni gruppo di due insiemi abbiamo una coppia.

{A,A} è abbreviato in {A}, ed è definito come il singleton che contiene A. Si noti che un singleton è un caso particolare di una coppia.

L'assioma della coppia permette anche la definizione delle coppie ordinate. Per ogni insieme a e b, la coppia ordinata è definita come segue:

 (a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}.

Si osservi che questa definizione soddisfa la definizione

(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d.

Le n-tuple possono essere definite ricorsivamente come segue:

 (a_1, \ldots, a_n) = ((a_1, \ldots, a_{n-1}), a_n).

L'assioma della coppia è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi. Tuttavia, nella formulazione standard della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma della coppia segue dall'assioma dell'insieme potenza e dallo schema di rimpiazzamento, quindi talvolta è omesso.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Assieme all'assioma dell'insieme vuoto, l'assioma della coppia può essere generalizzato nella seguente affermazione:

\forall A_1, \ldots, \forall A_n, \exist C, \forall D: D \in C \iff (D = A_1 \or \cdots \or D = A_n)

cioè:

Dato un qualsiasi numero finito di insiemi A1, ..., An, esiste un insieme C i cui elementi sono esattamente A1, ..., An.

Questo insieme C è ancora unico per l'assioma di estensionalità, ed è indicato con {A1...,An}.

Naturalmente, non possiamo riferirci a un numero finito di insiemi rigorosamente senza avere fra le mani un insieme (finito) al quale gli insiemi in questione appartengono. Quindi questa non è una singola affermazione, ma invece uno schema, con un'affermazione separata per ogni numero naturale n.

  • Il caso n = 1 è l'assioma della coppia con A = A1 e B = A1.
  • Il caso n = 2 è l'assioma della coppia con A = A1 e B = A2.
  • I casi n > 2 possono essere dimostrati usando l'assioma della coppia e l'assioma dell'unione più volte.

Ad esempio, per provare il caso n = 3, si usa l'assioma della coppia tre volte, per produrre la coppia {A1,A2}, il singleton {A3}, e infine la coppia {{A1,A2},{A3}}. L'assioma dell'unione quindi produce il risultato desiderato, {A1,A2,A3}. Possiamo estendere questo schema per includere n=0 se interpretiamo questo caso come l'assioma dell'insieme vuoto.

Quindi, si può usare questo schema come schema di assiomi al posto degli assiomi dell'insieme vuoto e della coppia. In genere, comunque, si usano gli assiomi dell'insieme vuoto e della coppia separatamente, e poi si prova questo come schema di teoremi. Si noti che l'adozione di questo schema di assiomi non sostituisce l'assioma dell'unione, che si mostra necessario in altre situazioni.

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