Matematica della relatività generale

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La matematica della relatività generale si riferisce a varie strutture e tecniche matematiche utilizzate nello studio e nella formulazione della teoria della relatività generale di Albert Einstein. I principali strumenti usati in questa teoria geometrica della gravitazione sono i campi tensoriali definiti in base a una varietà lorentziana che rappresenta lo spazio-tempo. Questo articolo è una descrizione generale della matematica della relatività generale.

N.B. - Gli articoli sulla relatività generale che usano tensori useranno la notazione astratta degli indici.

Perché i tensori?[modifica | modifica wikitesto]

Il principio di covarianza generale stabilisce che le leggi della fisica prendono la stessa forma matematica in tutti i sistemi di riferimento e fu uno dei principi cardini nello sviluppo della relatività generale. Il termine "covarianza generale" venne utilizzato nella prima formulazione della relatività generale, ma ora viene riferito da molti covarianza del diffeomorfismo. Sebbene la covarianza del diffeomorfismo non sia l'aspetto definito della relatività generale [1], e le controversie restino in merito al suo stato presente, la proprietà di invarianza delle leggi fisiche implicate nel principio insieme al fatto che la teoria sia essenzialmente geometrica nel carattere (facendo uso della geometria non-euclidea) suggeriva che la relatività generale venisse formulata usando il linguaggio dei tensori. Questo sarà discusso ulteriormente sotto.

Spazio-tempo come varietà[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio-tempo e Topologia dello spazio-tempo.

Gli approcci più moderni alla matematica della relatività generale iniziano con il concetto di varietà. Più precisamente, il concetto fisico di base che rappresenta la gravitazione - uno spazio-tempo curvo - è modellato per mezzo di una varietà lorentziana quadri-dimensionale, uniforme (smooth), connessa. Altri descrittori fisici sono rappresentati tramite vari tensori, discussi sotto.

Il fondamento logico per la scelta di una varietà come struttura matematica fondamentale è quello di riflettere le desiderate proprietà fisiche. Ad esempio, nella teoria delle varietà, ogni punto è contenuto in un grafico di coordinate (in alcun modo univoco) e può essere pensato come una rappresentazione dello "spazio-tempo locale" intorno all'osservatore (rappresentato dal punto). Il principio di Covarianza di Lorentz locale, il quale stabilisce che le leggi della relatività speciale si conservino a livello locale su ogni punto dello spazio-tempo, conferisce un ulteriore sostegno alla scelta di una struttura di varietà per la rappresentazione dello spazio-tempo, dato che a livello locale intorno a un punto su una varietà generale, la regione "sembra", o si approssima molto vicina allo spazio di Minkowski (spazio-tempo piatto).

Il concetto di grafici di coordinate come "osservatori locali che possano eseguire misurazioni nelle loro vicinanze" rende bene anche il senso fisico, in quanto questo è il modo in cui si raccolgono in realtà i dati fisici - a livello locale. Per problemi cosmologici, un grafico di coordinate può essere piuttosto grande.

Distinzione fra struttura locale e globale[modifica | modifica wikitesto]

Un' importante distinzione in fisica è la differenza tra strutture locali e globali. Le misurazioni in fisica sono effettuate in una regione relativamente piccola dello spazio-tempo e questo è uno dei motivi per studiare la struttura locale dello spazio-tempo nella relatività generale, laddove la determinazione della struttura dello spazio-tempo globale è importante, specialmente nei problemi cosmologici.

Un importante problema nella relatività generale è dire quando due spazi-tempi sono "gli stessi", almeno a livello locale. Questo problema ha le sue radici nella teoria della varietà dove si determina se due varietà riemanniane della stessa dimensione siano localmente isometriche ("localmente le stesse"). Quest'ultimo problema è stato risolto e il suo adattamento per la relatività generale è chiamato algoritmo di Cartan-Karlhede.

Tensori nella relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore e Tensore (definizione intrinseca).

Una delle conseguenze profonde della teoria della relatività fu l'abolizione del sistema di riferimento privilegiato. La descrizione dei fenomeni fisici non dovrebbero dipendere da chi esegue la misurazione - un sistema di riferimento dovrebbe essere buono come qualunque altro. La relatività ristretta ha dimostrato che nessun sistema di riferimento inerziale è preferenziale a ogni altro sistema di riferimento inerziale, ma prediligendo sistemi di riferimento inerziali a quelli non-inerziali. La relatività generale ha eliminato il privilegio per i sistemi di riferimento inerziali, dimostrando che non esiste un sistema di riferimento privilegiato (inerziale o non) per la descrizione della natura.

Ogni osservatore può effettuare misurazioni e con l'esatta quantità numerica ottenuta soltanto in base al sistema di coordinate utilizzato. Ciò ha suggerito un modo di formulare la relatività utilizzando le "strutture invarianti", quelle che non dipendono dal sistema usato di coordinate (rappresentato dall'osservatore), ma che hanno ancora un'esistenza indipendente. La struttura matematica più adatta sembrava essere il tensore. Per esempio, durante la misurazione del campo elettrico e magnetico prodotti da una carica in accelerazione, i valori dei campi dipenderanno dal sistema di coordinate usato, ma i campi sono considerati come aventi un'esistenza indipendente, rappresentata dal tensore di campo elettromagnetico.

Matematicamente, i tensori sono operatori lineari generalizzati - mappe multilineari. Come tali, i concetti di algebra lineare sono impiegati nello studio dei tensori.

Ad ogni punto \, p di una varietà, gli spazi tangenti e cotangenti alla varietà possono a questo punto essere costruiti. I vettori (talvolta riferiti come vettori controvarianti) sono definiti come elementi dello spazio tangente e i covettori (talvolta definiti vettori covarianti, ma più comunemente vettori duali o uni-formi) sono elementi dello spazio cotangente.

Per \, p, questi due spazi vettoriali possono essere utilizzati per costruire tensori di tipo \, (r,s), i quali sono mappe multilineari di valore reale che agiscono sulla somma diretta di \, r copie dello spazio cotangente con \, s copie dello spazio tangente. L'insieme di tutte queste mappe multilineari forma uno spazio vettoriale, detto spazio prodotto tensoriale di tipo \, (r,s) per \, p e denotato da \, (T_p)^r{}_sM. Se lo spazio tangente è n-dimensionale, si può dimostrare che \dim (T_p)^r{}_sM = n^{r+s}.

Nella letteratura della relatività generale, per convenzione si utilizza la sintassi componente per i tensori.

Un tensore di tipo (r,s) può essere scritto come

 T \;\! = \;\! {T^{a_1 \ldots a_r}}_{{b_1} \ldots {b_s}} \frac {\partial} {\partial x^{a_1}} \otimes \ldots \otimes \frac {\partial} {\partial x^{a_r}} \otimes dx^{b_1} \otimes \ldots \otimes dx^{b_s}

dove \;\!\frac {\partial} {\partial x^{a_i}} è una base per lo spazio tangente i-esimo e \;\!dx^{b_j} una base per lo spazio cotangente j-esimo.

Dato che lo spazio-tempo si presume quadri-dimensionale, ogni indice su un tensore può essere uno dei quattro valori. Quindi, il numero totale di elementi che un tensore possiede è pari a 4R, dove R è la somma dei numeri di indici covarianti e controvarianti sul tensore (un numero chiamato rango del tensore).

Tensori simmetrici e antisimmetrici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore antisimmetrico e Tensore simmetrico.

Alcune grandezze fisiche sono rappresentate da tensori le cui componenti non tutte sono indipendenti. Importanti esempi di tensori comprendono i tensori simmetrici e antisimmetrici. tensori antisimmetrici sono comunemente usati per rappresentare rotazioni (per esempio, il tensore di vorticità).

Anche se un generico tensore di rango R in 4 dimensioni ha 4R componenti, i vincoli sul tensore come simmetria o antisimmetria servono a ridurre il numero di componenti distinte. Per esempio, un tensore simmetrico T di rango due soddisfa Tab = Tba e possiede 10 componenti indipendenti, laddove un tensore antisimmetrico (obliquo-simmetrico) P di rango due soddisfa Pab = -Pba ed ha 6 componenti indipendenti. Per i ranghi maggiori di due, le coppie di indice simmetrico o antisimmetrico devono essere esplicitamente identificate.

I tensori antisimmetrici di rango 2 giocano ruoli importanti nella teoria della relatività. L'insieme di tutti questi tensori - spesso chiamati bivettori - forma uno spazio vettoriale di dimensione 6, talvolta detto spazio bivettoriale.

Tensore metrico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore metrico.

Il tensore metrico è un oggetto centrale nella relatività generale che descrive la geometria locale dello spazio-tempo (onde risolvere l'equazione di campo di Einstein). Usando l'approssimazione del campo debole, la metrica può anche essere pensata come rappresentante il "potenziale gravitazionale". Il tensore metrico viene spesso propriamente chiamato "il metrico".

Il metrico è un tensore simmetrico ed è un importante strumento matematico. Oltre ad essere utilizzato per sollevare e abbassare gli indici tensore, genera anche le connessioni usate per costruire le equazioni geodetiche di moto e il tensore di curvatura di Riemann.

Un modo opportuno per esprimere il tensore metrico in combinazione con gli intervalli incrementali di distanza coordinata che mette in relazione è attraverso l'elemento di linea:

ds^2 = g_{ab} \, dx^a \, dx^b

Questo modo di esprimere la metrica è stata utilizzata dai pionieri della geometria differenziale. Mentre alcuni relativisti considerano la notazione un po' superata, molti altri passano facilmente tra questa e la notazione alternativa:

g = g_{ab} \, dx^a \otimes dx^b

Il tensore metrico è comunemente scritto come una matrice 4 per 4. A causa della simmetria della metrica, questa matrice è simmetrica e ha 10 componenti indipendenti.

Invarianti[modifica | modifica wikitesto]

Uno degli aspetti centrali della relatività generale è il concetto di invarianza delle leggi fisiche. Questa invarianza può essere descritta in molti modi, per esempio, in termini di covarianza di Lorentz locale, principio generale di relatività o covarianza del diffeomorfismo.

Una descrizione più esplicita può essere data sull'uso dei tensori. La caratteristica fondamentale dei tensori utilizzati in questo approccio è il fatto che (una volta data la metrica) l'operazione di contrarre un tensore di rango R su tutti gli indici R fornisce un numero - un "invariante" - che è indipendente dal grafico di coordinate usato per eseguire la contrazione. Fisicamente, questo significa che l'invariante calcolato da ciascun osservatore avrà lo stesso valore, suggerendo un qualche suo significato indipendente. Alcuni invarianti importanti nella relatività comprendono:


Altri esempi di invarianti nella relatività includono le invarianti elettromagnetiche e varie altre invarianti di curvatura; alcune di queste ultime trovano applicazione nello studio dell'entropia gravitazionale e nell'ipotesi di curvatura di Weyl.

Classificazioni dei tensori[modifica | modifica wikitesto]

La classificazione dei tensori è un problema puramente matematico. Nella relatività generale, tuttavia, alcuni tensori aventi un'interpretazione fisica possono essere classificati nelle diverse forme del tensore di solito corrispondenti ad alcuni fenomeni fisici. Esempi di classificazioni del tensore utili nel relatività generale comprendono la classificazione di Segre del tensore energia-momento e la classificazione di Petrov del tensore di Weyl. Ci sono vari metodi per classificare questi tensori, alcuni dei quali usano invarianti tensoriali.

Campi tensoriali nella relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campo tensoriale.

I campi tensoriali su una varietà sono carte che uniscono un tensore ad ogni punto della varietà. Questa nozione può essere resa più precisa, introducendo il concetto di fibrato, che nel presente contesto significa raccogliere insieme tutti i tensori in tutti i punti della varietà, così da "legarli" tutti in un unico grande oggetto chiamato fascio tensoriale. Un campo tensoriale è dunque definito come una mappa della varietà per il fascio tensoriale, essendo ogni punto p associato ad un tensore in p.

La nozione di campo tensoriale è di primaria importanza nella relatività generale. Per esempio, la geometria intorno a una stella è descritta da un tensore metrico in ogni punto, in modo che ad ogni punto dello spazio-tempo venga dato il valore della metrica per risolvere i percorsi di particelle materiali. Un altro esempio è rappresentato dai valori dei campi elettrici e magnetici (dati dal tensore elettromagnetico) e la metrica in ogni punto attorno a un buco nero con carica onde determinare il moto di una particella carica in tale campo.

I campi vettoriali sono campi tensoriali di un unico rango controvariante. I campi vettoriali importanti nella relatività comprendono la quadri-velocità, U^a = \dot{x}^a, che è la distanza coordinata percorsa per unità di tempo proprio, la quadri-accelerazione A^a = \ddot{x}^a e la quadri-corrente \, J^a che descrive la carica e la densità di corrente. Altri campi tensoriali fisicamente importanti nella relatività comprendono i seguenti:

Sebbene la parola "tensore" si riferisca ad un oggetto in un punto, è prassi comune riferirsi ai campi tensoriali su uno spazio-tempo (o a una regione di esso) proprio come "tensori".

In ogni punto di uno spazio-tempo su cui una metrica viene definita, la metrica può essere ridotta nella forma di Minkowski usando la legge di inerzia di Sylvester.

Derivate tensoriali[modifica | modifica wikitesto]

Prima dell'avvento della relatività generale, i cambiamenti nei processi fisici erano generalmente definiti dalle derivate parziali, per esempio, nella descrizione dei mutamenti nei campi elettromagnetici (vedi equazioni di Maxwell). Anche nella relatività ristretta, la derivata parziale è ancora sufficiente a definire tali modifiche. Tuttavia, nella relatività generale, si è constatato che devono essere utilizzate derivate che siano anche tensori. Le derivate hanno alcune caratteristiche comuni, tra cui quelle di essere derivate lungo le curve integrali dei campi vettoriali.

Il problema nella definizione delle derivate su varietà che non sono piatte è che non vi è un modo naturale per confrontare vettori in punti differenti. È richiesta una struttura aggiuntiva su una varietà generale per definire le derivate. Sotto sono descritte due importanti derivate che possono essere definite imponendo in ogni caso una struttura supplementare sulla varietà.

Connessioni affini[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Connessione affine.

La curvatura di uno spazio-tempo può essere caratterizzata prendendo un vettore in qualche punto e trasportandolo parallelamente lungo una curva sullo spazio-tempo. Una connessione affine è una regola che descrive come muovere in modo legittimo un vettore lungo una curva sulla varietà senza mutarne la direzione.

Per definizione, una connessione affine è una mappa bilineare \Gamma(TM)\times\Gamma(TM)  \rightarrow  \Gamma(TM), dove \,\Gamma(TM) è uno spazio di tutti i campi vettoriali sullo spazio-tempo. Questa mappa bilineare può essere descritta in termini di un insieme di coefficienti di connessione (noti anche come simboli di Christoffel) specificando cosa accade alle componenti dei vettori di base sotto trasporto parallelo infinitesimale:

\nabla _{e_i} e_j = \Gamma ^k _{ji} e_k

Nonostante il loro aspetto allettante, i coefficienti di connessione non sono i componenti di un tensore.

In generale, ci sono coefficienti di connessione D3 indipendenti in ogni punto dello spazio-tempo. La connessione è chiamata simmetrica se \Gamma^k_{ji} = \Gamma^k_{ij}. Una connessione simmetrica ha i coefficienti D2(D+1)/2 .

Per ogni curva \gamma e due punti A=\gamma(0) e B=\gamma(t) su questa curva, una connessione affine dà origine a una mappa di vettori nello spazio tangente in A dentro vettori nello spazio tangente in B:

X(t) \, = \Pi_{0,t,\gamma} X(0),

e \, X(t) può essere calcolata risolvendo l'equazione differenziale

\frac{d}{dt} X^i(t) = \nabla_{C(t)} X^i(t) = \Gamma^i_{jk} X^j(t) C^k(t)

\, C^j(t) essendo il vettore tangente alla curva nel punto \gamma(t).

Un connessione affine importante nella relatività generale è la Connessione di Levi-Civita, che è una connessione simmetrica ottenuta trasportando parallelamente un vettore tangente lungo una curva pur mantenendo il prodotto interno di tale vettore costante lungo la curva. I coefficienti di connessione che ne risultano (simboli di Christoffel) possono essere calcolati direttamente dalla metrica. Per questa ragione, tale tipo di connessione è spesso chiamata connessione metrica.

Derivata covariante[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Derivata covariante.

Mettiamo che X sia un punto, \vec A un vettore situato in X, e \vec B un campo vettoriale. Il concetto di differenziare \vec B in X lungo la direzione di \vec A in un modo fisicamente significativo può essere fatto scegliendo il senso di una connessione affine e una curva uniforme parametrizzata \gamma\,(t) tale che X \,= \gamma(0) e \vec A = {d \over dt}\gamma(0). La formula

\nabla _{\vec A} \vec B(X) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\Pi_{(\varepsilon,0,\gamma)} \vec B(\gamma(\varepsilon)) - \vec B(X)}{\varepsilon}

per una derivata covariante di \vec B lungo \vec A associata con la connessione \,\Pi finisce per dare risultati indipendenti dalla curva e può essere usata come "definizione fisica" di una derivata covariante.

Può essere espressa usando coefficienti di connessione:

\nabla _{\vec Y} \vec X = X^a{}_{;b}Y^b \frac {\partial} {\partial x^a} = (X^a{}_{,b}+\Gamma ^a _{bc}X^c)Y^b \frac {\partial} {\partial x^a}

L'espressione fra parentesi, chiamata derivata covariante di X (rispetto alla connessione) e denotata da \nabla \vec X, è più spesso usata nei calcoli:

\nabla \vec X = X^a{}_{;b} \frac {\partial} {\partial x^a} \otimes dx^b = (X^a{}_{,b}+\Gamma ^a _{bc}X^c) \frac {\partial} {\partial x^a} \otimes dx^b

Una derivata covariante di X può così essere vista come un operatore differenziale che agisce su un campo vettoriale inviandolo a un tensore di tipo (1.1) ('incrementando l'indice covariante per 1') e può essere generalizzata per agire sui campi tensoriali di tipo (r,s) inviandoli ai campi tensoriali di tipo (r, s+1). Le nozioni di trasporto parallelo possono quindi essere definite allo stesso modo come per il caso dei campi vettoriali. Per definizione, una derivata covariante di un campo scalare è uguale alla derivata normale del campo.

Nella letteratura, ci sono tre metodi comuni per denotare la differenziazione covariante:

 D_a T^{b\dots c}_{d\dots e} = \nabla_a T^{b\dots c}_{d\dots e} = T^{b\dots c}_{d\dots e;a}

Molte proprietà standard delle derivate regolari parziali si applicano anche alle derivate covarianti:

 \nabla_a (X^b + Y^b) \,= \nabla_a X^b + \nabla_a Y^b

 \nabla_a (X^b Y^c) \,= Y^c (\nabla_a X^b) + X^b (\nabla_a Y^c)

 \nabla_a (f(x) X^b) \,= f \nabla_a X^b + X^b \nabla_a f = f \nabla_a X^b + X_b {\partial f \over \partial x^a}

 \nabla_a (c X^b) \,= c \nabla_a X^b, se c è una costante

Nella relatività generale, ci si riferisce di solito a "la" derivata covariante, che è quella associata alla connessione affine di Levi-Civita. Per definizione, la connessione di Levi-Civita mantiene la metrica sotto trasporto parallelo, quindi, la derivata covariante dà zero quando agisce su un tensore metrico (così come per il suo inverso). In altri termini si prende il tensore metrico (inverso) dentro e fuori della derivata e lo si usa per innalzare e abbassare gli indici:

\nabla_a T^b = \nabla_a (T_c g^{bc}) = g^{bc} \nabla_a T_c

Derivata di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Derivata di Lie e Simmetrie dello spazio-tempo.

Un'altra derivata tensoriale importante è la derivata di Lie. Mentre la derivata covariante richiede una connessione affine per permettere il confronto tra vettori in punti diversi, la derivata di Lie usa una congruenza di un campo vettoriale per ottenere lo stesso scopo. Il concetto di Lie sul trascinamento di una funzione lungo una congruenza porta alla definizione della derivata di Lie, dove la funzione trascinata viene confrontata con il valore della funzione originale in un dato punto. La derivata di Lie può essere definita per campi tensoriali di tipo (r,s) e a questo proposito può essere vista come una mappa che invia un tipo (r,s) a un tensore di tipo (r,s).

La derivata di Lie è di solito denotata da \mathcal L_X, dove X è il campo vettoriale lungo la cui congruenza viene presa la derivata di Lie.

La derivata di Lie di ogni tensore lungo un campo vettoriale può essere espressa attraverso le derivate covarianti di quel tensore e campo vettoriale. (Infatti, ogni derivata funzionerà, ma la derivata covariante è opportuna perché si commuta con l'innalzamento e l'abbassamento degli indici). La derivata di Lie di uno scalare è proprio la derivata direzionale:

 \mathcal L_X \phi = X^a \nabla_a \phi = X^a \frac{\partial \phi}{ \partial x^a}

Oggetti di rango superiore raccolgono ulteriori termini quando si prende la derivata di Lie. Ad esempio, la derivata di Lie di un tensore di tipo (0.2) è

 \mathcal L_X T_{ab} = X^c \nabla_c T_{ab} + (\nabla_a X^c)T_{cb} + (\nabla_b X^c) T_{ac} = X^c T_{ab,c} +  X^c_{,a} T_{cb} + X^c_{,b} T_{ac}

Più generalmente,

 \mathcal L_X T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} = X^c(\nabla_cT^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s}) - (\nabla_cX ^{a_1}) T ^{c \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} - \ldots - (\nabla_cX^{a_r}) T ^{a_1 \ldots a_{r-1}c}{}_{b_1 \ldots b_s} +
+  (\nabla_{b_1}X^c) T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{c \ldots b_s} + \ldots + (\nabla_{b_s}X^c) T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_{s-1} c}

Uno degli usi principali della derivata di Lie nella relatività generale è nello studio delle simmetrie dello spazio-tempo in cui sono conservati tensori o altri oggetti geometrici. In particolare, la simmetria di Killing (simmetria del tensore metrico sotto il trascinamento di Lie) si verifica molto spesso nello studio dello spazio-tempo. Utilizzando la formula precedente, possiamo scrivere la condizione che deve essere soddisfatta per un campo vettoriale per generare una simmetria Killing:

 \mathcal L_X g_{ab} = 0
 \nabla_a X_b + \nabla_b X_a = 0, che è equivalente a  X^c g_{ab,c} +  X^c_{,a} g_{bc} + X^c_{,b} g_{ac}\, = 0.

Tensore di curvatura di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore di Riemann.

Un aspetto cruciale della relatività generale è il concetto di varietà curva. Un utile modo per misurare la curvatura di una varietà è tramite un oggetto chiamato tensore (curvatura) di Riemann.

Questo tensore misura la curvatura tramite l'uso di una connessione affine che prende in considerazione l'effetto di trasportare parallelo un vettore tra due punti lungo due curve. La discrepanza tra i risultati di questi due percorsi di trasporto parallelo è essenzialmente quantificata dal tensore di Riemann.

Questa proprietà del tensore di Riemann può essere utilizzata per descrivere come le geodetiche parallele inizialmente divergano. Ciò viene espresso tramite l'equazione di deviazione geodetica e significa che le forze mareali sperimentate in un campo gravitazionale sono il risultato della curvatura dello spazio-tempo.

Utilizzando la procedura descritta sopra, il tensore di Riemann è definito come un tensore di tipo (1.3) e una volta completamente scritto contiene esplicitamente i simboli di Christoffel. Il tensore di Riemann ha 20 componenti indipendenti. La tendenza a zero di tutti questi componenti su una regione indica che lì lo spazio-tempo è piatto. Dal punto di vista della deviazione geodetica, ciò significa che inizialmente le geodetiche parallele in quella regione dello spazio-tempo resteranno parallele.

Il tensore di Riemann ha una certo numero di proprietà a volte riferite come simmetrie del tensore di Riemann. Di particolare rilevanza per la relatività generale sono le identità algebriche e differenziali di Bianchi.

La connessione e la curvatura di ogni varietà riemanniana sono strettamente correlate; la teoria di gruppi di olonomia, formati prendendo mappe lineari definite per mezzo del trasporto parallelo intorno a curve sulla varietà, fornisce una descrizione di questa correlazione.

Tensore energia-impulso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore energia impulso.

Le sorgenti di un qualsiasi campo gravitazionale (materia ed energia) sono rappresentati nella relatività da un tensore simmetrico di tipo (0.2) chiamato tensore energia momento ed è strettamente correlato al tensore di Ricci. Essendo un tensore di secondo rango in quattro dimensioni, il tensore energia momento potrebbe essere visto come una matrice 4 per 4. I vari tipi di matrice ammissibili, dette forme di Jordan non possono verificarsi, dato che le condizioni energetiche che il tensore energia momento è costretto a soddisfare esclude certe forme.

Conservazione dell'energia[modifica | modifica wikitesto]

Nella relatività generale, c'è un legge locale per la conservazione dell'energia-momento che può essere sinteticamente espressa attraverso l'equazione tensoriale:

T^{ab}{}_{;b} \, =0.

La relazione corrispondente della conservazione dell'energia locale nella relatività speciale è:

T^{ab}{}_{,b} \, =0.

Ciò indica la regola empirica secondo la quale le "derivate parziali vanno alle derivative covarianti".

Equazioni di campo di Einstein[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni di campo di Einstein e Soluzioni delle equazioni di campo di Einstein.

Le equazioni di campo di Einstein (ECE) sono il nocciolo della teoria della relatività generale. Le ECE descrivono come massa ed energia (come rappresentato nel tensore stress energia) sono correlate alla curvatura dello spazio-tempo (come rappresentato nel tensore di Einstein). Nella notazione astratta degli indici, la ECE si legge come segue:

G_{ab} + \Lambda g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}

dove G_{ab} è il tensore di Einstein, \Lambda è la costante cosmologica, c è la velocità della luce nel vuoto e G è la costante gravitazionale, che deriva dalla legge di gravitazione universale di Newton.

Le soluzioni delle ECE sono tensori metrici che, essendo equazioni differenziali non-lineari per la metrica, sono spesso difficili da risolvere. Ci sono un certo numero di strategie utilizzate per trovarne le soluzioni. Per esempio, una strategia è iniziare con un ansatz (o ipotesi) della metrica finale, e perfezionarla fino a quando non sia abbastanza specifica da sostenere un sistema di coordinate, ma ancora abbastanza generale per produrre un insieme di equazioni differenziali simultanee con incognite che possano essere risolte. I tensori metrici che si ottengono, nei casi in cui le equazioni differenziali che ne derivano possano essere risolte esattamente per una distribuzione fisicamente ragionevole di energia-momento, sono chiamati soluzioni esatte. Esempi notevoli di soluzioni esatte comprendono la soluzione di Schwarzschild e la soluzione di Friedman-Lemaître-Robertson-Walker. [1]

Equazioni geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Geodetica.

Una volta che le equazioni di campo di Einstein sono risolte per ottenere una metrica, resta da determinare il moto degli oggetti inerziali nello spazio-tempo. Nella relatività generale, si ipotizza che il moto inerziale si verifica lungo geodetiche dello spazio-tempo nulle e di tipo tempo come parametrizzato dal tempo proprio. Le geodetiche sono curve che trasportano parallele il loro proprio vettore tangente  \vec U, vale a dire \nabla_ {\vec U} \vec U =0. Questa condizione - l'equazione geodetica - può essere scritta mediante i termini di un sistema di coordinate x ^a col il vettore tangente U^a= \frac{dx^a}{d \tau}:

\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \, \dot{x}^c = 0

dove \dot{} = d/d\tau, τ parametrizza il tempo proprio lungo la curva ed è resa evidente la presenza dei simboli di Christoffel.

Una caratteristica principale della relatività generale è quella di determinare i percorsi di particelle e radiazioni nei campi gravitazionali. Ciò è realizzato dalla risoluzioni per le equazioni geodetiche.

Le ECE riguardano la distribuzione della materia (energia) complessiva per la curvatura dello spazio-tempo. la loro non-linearità porta a un problema nel determinare il moto preciso della materia nello spazio-tempo risultante. Per esempio, in un sistema composto da un pianeta orbitante una stella, il moto del pianeta è determinato risolvendo le equazioni di campo con il tensore energia-momento la somma di quello per il pianeta e la stella. Il campo gravitazionale del pianeta influenza la geometria complessiva dello spazio-tempo e dunque il moto degli oggetti. È quindi ragionevole supporre che le equazioni di campo possano essere utilizzate per ricavare le equazioni geodetiche.

Quando il tensore energia-momento per un sistema è quello del fluido perfetto, esso può essere dimostrato usando la legge di conservazione locale per il tensore energia-momento in modo che le equazioni geodetiche siano soddisfatte in modo esatto.

Formulazione lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Metodi variazionali nella relatività generale.

Il problema di ricavare le equazioni di moto o le equazioni di campo in ogni teoria fisica è considerato da molti ricercatori attraente. Un modo abbastanza universale di eseguire tali derivazioni è quello di utilizzare le tecniche di calcolo variazionale, essendo Lagrangiani gli oggetti principali usati a questo scopo.

Molti considerano questo approccio un modo elegante di costruire una teoria, altri semplicemente un modo formale di esprimerla (di solito, la costruzione lagrangiana è eseguita dopo lo sviluppo della teoria).

Tecniche matematiche per l'analisi degli spazio-tempo[modifica | modifica wikitesto]

Dopo aver delineato le strutture matematiche di base utilizzate nella formulazione della teoria, adesso verranno prese in considerazione alcune importanti tecniche matematiche impiegate nella ricerca sullo spazio-tempo.

Campi di sistema[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campi di sistema nella relatività generale.

Un campo di sistema è un insieme ortonormale di 4 campi vettoriali (1 di tipo tempo, 3 di tipo spazio) definiti su uno spazio-tempo. Ogni campo di sistema può essere pensato come rappresentante un osservatore nello spazio-tempo che si muove lungo curve integrali del campo vettoriale di tipo tempo. Ogni grandezza tensoriale può essere espressa in termini di campo di sistema, in particolare, il tensore metrico prende una forma particolarmente adatta. Quando si uniscono insieme ai campi di co-sistema, i campi di sistema forniscono un potente strumento per analizzare gli spazio-tempo e interpretare fisicamente i risultati matematici.

Campi vettoriali di simmetria[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Simmetrie spazio-temporali.

Alcune tecniche moderne per l'analisi degli spazio-tempo fanno molto assegnamento sull'utilizzo di simmetrie spazio-temporali, che sono infinitamente generate da campi vettoriali (di solito definiti in modo locale) su uno spazio-tempo [particolare] che conserva [solo] alcune delle caratteristiche dello spazio-tempo. Il tipo più comune di tali campi vettoriali di simmetria comprendono campi vettoriali di Killing (che conservano la struttura metrica) e loro generalizzazioni chiamati campi vettoriali di Killing generalizzati. I campi vettoriali di simmetria trovano estesa applicazione nello studio delle esatte soluzioni nella relatività generale e l'insieme di tutti questi campi vettoriali di solito forma un'algebra di Lie finita-dimensionale.

Problema di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Problema di Cauchy nella relatività generale.

Il problema di Cauchy (talvolta chiamato problema del valore iniziale) è il tentativo di trovare una soluzione per un'equazione differenziale date le condizioni iniziali. Nel contesto della relatività generale, vuol dire il problema di trovare soluzioni alle equazioni di campo di Einstein - un sistema di equazioni differenziali parziali iperboliche - forniti alcuni dati iniziali su una ipersuperficie. Studiare il problema di Cauchy permette di formulare il concetto di causalità nella relatività generale, così come "parametrizzare" le soluzioni delle equazioni di campo. Idealmente, si desiderano soluzioni globali, ma di solito le soluzioni locali sono il meglio che si può sperare. In genere, la soluzione di questo problema di valore iniziale richiede la selezione di particolari condizioni coordinate.

Formalismo di spinori[modifica | modifica wikitesto]

Gli spinori trovano diverse importanti applicazioni nella relatività. Il loro uso come metodo per l'analisi dello spazio-tempo che utilizza tetradi è importante, in particolare, nel formalismo di Newman-Penrose.

Un'altra caratteristica interessante degli spinori nella relatività generale è il modo condensato in cui alcune equazioni tensoriali possono essere scritte usando il formalismo di spinore. Per esempio, nel classificare il tensore di Weyl, determinando i vari tipi di Petrov, diventa molto più facile se confrontato con la controparte tensoriale.

Calcolo di Regge[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Calcolo di Regge.

Il calcolo di Regge è un formalismo che sminuzza una varietà lorentziana dentro 'grandi blocchi' (chunks) discreti ( blocchi simpliciali quadri-dimensionali) e le lunghezze del bordo del blocco sono prese come variabili di base. Una versione discreta dell'azione di Einstein-Hilbert è ottenuta prendendo in considerazione i cosiddetti 'angoli mancanti' di questi blocchi, un angolo mancante zero che non corrisponde a nessuna curvatura. Questo concetto nuovo trova applicazione nei metodi di approssimazione nella relatività numerica e nella gravità quantistica, usando quest'ultima una generalizzazione del calcolo Regge.

Teoremi della singolarità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoremi della singolarità di Penrose-Hawking.

Nella relatività generale, un nuovo concetto scorga nel campo della fisica in merito al fatto che, in condizioni abbastanza generiche, il collasso gravitazionale risulta inevitabilmente in una cosiddetta singolarità.

Relatività numerica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Relatività numerica.

La relatività numerica è un sottocampo della relatività generale che cerca di risolvere le equazioni di Einstein attraverso l'uso di metodi numerici. I metodi di differenza finita, dell'elemento finito e pseudo-spettrale sono usati per approssimare la soluzione per le equazioni differenziali parziali che si presentano. Le nuove tecniche sviluppate dalla relatività numerica comprendono il metodo della recisione e quello della puntura per affrontare le singolarità che sorgono negli spazio-tempo del buco nero. I comuni temi di ricerca comprendono i buchi neri e le stelle di neutroni.

Metodi di perturbazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi metodi di perturbazione nella relatività generale.

La non-linearità delle equazioni di campo di Einstein spesso conducono a prendere in considerazione metodi di approssimazione per risolverli. Per esempio, un importante approccio è linearizzare le equazioni di campo. A tale scopo trovano ampia applicazione le tecniche mutuate dalla teoria della perturbazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) L'approssimazione EIH più altri riferimenti (per es. Geroch e Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 numero 1).
[1] La caratteristica determinate (concetto centrale nella fisica) della relatività generale è che materia ed energia causano la curvatura della geometria dello spazio-tempo circostante.

Fonti[modifica | modifica wikitesto]

[1] (EN) Einstein, A., Relativity: The Special and General Theory, New York, Crown, 1961, ISBN 0-517-02961-8.
[2] (EN) Misner, Charles, Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
[3] (EN) Landau, L.D., Lifshitz, E.M., Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition), Oxford, Pergamon, 1975, ISBN 0-08-018176-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]