Massa (fisica)

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Elaborazione grafica al computer del campione da un chilogrammo conservato a Sèvres
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La massa (dal greco μᾶζα, "torta d'orzo, grumo (di pasta)") è una grandezza fisica, cioè una proprietà dei corpi materiali, che determina il loro comportamento dinamico quando sono soggetti all'influenza di forze esterne.

Nel corso della storia della fisica, in particolare nella fisica classica, la massa è stata considerata una proprietà intrinseca della materia, rappresentabile con un valore scalare (indipendente dalla direzione), e che si conserva nel tempo e nello spazio, rimanendo costante in ogni sistema isolato. Inoltre, il termine massa è stato utilizzato per indicare due grandezze potenzialmente distinte: l'interazione della materia con il campo gravitazionale e la relazione che lega la forza applicata a un corpo con l'accelerazione su di esso indotta (vedi più sotto i paragrafi Massa inerziale e Massa gravitazionale). Tuttavia, è stata verificata l'equivalenza delle due masse in numerosi esperimenti (messi in atto già da Galileo Galilei per primo)[1].

Nel quadro più ampio della relatività ristretta, specialmente in una prospettiva storica, la massa relativistica non è più una proprietà intrinseca della materia ma dipende anche dallo stato della materia stessa e dal sistema di riferimento in cui viene osservata. Il concetto di massa relativistica non è centrale alla teoria, al punto che alcuni autori la ritengono un concetto fuorviante[2]. Nella relatività ristretta un corpo ha una massa relativistica direttamente proporzionale alla sua energia, tramite la famosa formula E = mc².[3] È possibile invece definire un invariante relativistico, detto massa a riposo o massa invariante, al quale la massa relativistica si riconduce nel caso in cui la particella sia ferma. La massa a riposo è definita in termini dell'energia e dell'impulso della particella ed è la stessa in ogni sistema di riferimento, risultando una grandezza fisica molto più utile della massa relativistica, al posto della quale può essere usata l'energia della particella.

A differenza di spazio e tempo, per cui si possono dare definizioni operative in termini di fenomeni naturali, per definire il concetto di massa occorre fare esplicito riferimento alla teoria fisica che ne descrive significato e proprietà. I concetti intuitivi pre-fisici di quantità di materia (da non confondere con quantità di sostanza, misurata in moli) sono troppo vaghi per una definizione operativa, e fanno riferimento a proprietà comuni — l'inerzia e il peso — che vengono considerati ben distinti dalla prima teoria che introduce la massa in termini quantitativi, la dinamica newtoniana.

Il concetto di massa diventa più complesso al livello della fisica subatomica dove la presenza di particelle elementari con massa (elettroni, quark, ...) e prive di massa (fotoni, gluoni) non ha ancora una spiegazione in termini fondamentali. In altre parole, non è chiaro il perché alcune particelle siano dotate di massa e altre no. Le principali teorie che cercano di dare una interpretazione alla massa sono: il meccanismo di Higgs, la teoria delle stringhe e la gravità quantistica a loop; di queste, a partire dal 4 luglio 2012 grazie all'acceleratore di particelle LHC, soltanto la Teoria di Higgs ha avuto i primi riscontri sperimentali.[4]

Unità di misura[modifica | modifica sorgente]

Nell'attuale Sistema internazionale di unità di misura (SI) la massa è stata scelta come grandezza fisica fondamentale, cioè non esprimibile in termini di altre grandezze.[5] La sua unità di misura è il chilogrammo, indicato col simbolo kg[6].

Nel sistema CGS l'unità di massa è il grammo. Nel Regno Unito e negli Stati Uniti viene comunemente usata la libbra (circa 454g) e la stone (letteralmente "pietra", 14 libbre). Altre unità di misura vengono comunemente utilizzate in specifici campi della fisica.

In fisica atomica e fisica della materia vengono comunemente utilizzate le unità di misura di Hartree, basate sulla massa dell'elettrone o l'unità di massa atomica, equivalente grossomodo alla massa di un protone. In chimica si usa frequentemente la mole che, pur non essendo una unità di massa, vi è legata da un semplice fattore di proporzionalità.

In fisica nucleare e sub-nucleare è comune l'utilizzo dell'unità di massa atomica. Tuttavia, soprattutto nel campo della alte energie, si usa esprimere la massa (a riposo o invariante) tramite la sua energia equivalente E = mc². L'energia viene a sua volta espressa in eV[7]. Per esempio un elettrone ha una massa di circa

m_\mathrm{e^-}=9{,}109\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}=9{,}109\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}\,\times c^2/c^2 \simeq 511\,\mathrm{keV}/c^2.

L'elettrone ha quindi una massa a riposo equivalente a 0.511 MeV. Negli esperimenti di fisica sub-nucleare l'energia cinetica delle particelle studiate è spesso dello stesso ordine di grandezza, il che rende questa scelta di unità di misura particolarmente conveniente.[8]

Le unità di misura della massa, in particolare il chilogrammo e la libbra, vengono talvolta usate anche per misurare una forza. Quest'uso pur essendo tecnicamente scorretto è molto diffuso nell'uso comune e giustificato dal fatto che l'accelerazione di gravità sulla terra (g) è grossomodo costante. Una forza può quindi essere espressa come massa equivalente tramite la costante di proporzionalità g. In altre parole, affermare che una forza ha l'intensità di un chilogrammo è equivalente ad affermare che un corpo del peso di un chilogrammo, al livello del mare, sarebbe soggetto a una forza gravitazionale di entità equivalente. Quest'uso non è tuttavia conforme al Sistema Internazionale. Massa e forza sono due grandezze concettualmente distinte, con unità di misura SI diverse, rispettivamente il chilogrammo per la massa e il newton per la forza; ed è bene sottolineare che il peso di un oggetto è una forza, non una proprietà fisica intrinseca dell'oggetto (quale invece è la massa).

Meccanica newtoniana[modifica | modifica sorgente]

In meccanica classica il termine massa si può riferire a tre diverse grandezze fisiche scalari, distinte tra loro:

  • la massa inerziale è proporzionale all'inerzia di un corpo, che è la resistenza al cambiamento dello stato di movimento quando viene applicata una forza.
  • La massa gravitazionale passiva è proporzionale alla forza di interazione di un corpo con la forza gravitazionale.
  • La massa gravitazionale attiva è invece proporzionale all'intensità del campo gravitazionale prodotto da un corpo.

La massa inerziale e quelle gravitazionali sono state sperimentalmente provate come equivalenti, anche se concettualmente sono distinte. I primi esperimenti mirati a stabilire questa equivalenza sono stati quelli di Galileo Galilei.

Massa inerziale[modifica | modifica sorgente]

Definizione newtoniana[modifica | modifica sorgente]

La massa inerziale mi di un corpo viene definita nei Principia come quantità di materia legandola al principio di proporzionalità come costante di proporzionalità tra la forza applicata \vec F e l'accelerazione subita \vec a:

m_i=\frac{F}{a}

La massa inerziale si può in effetti ottenere operativamente misurando l'accelerazione del corpo sottoposto a una forza nota, essendo l'indice della tendenza di un corpo ad accelerare quando è sottoposto a una forza, cioè dell'inerzia del corpo. Il problema di utilizzare questa proprietà come definizione è che necessita del concetto pregresso di forza; per evitare il circolo vizioso generato da Newton che non specificava lo strumento per misurarla spesso la forza viene allora definita legandola all'allungamento di una molla che segua la legge di Hooke, definizione chiaramente insoddisfacente in quanto particolare e non generale. Inoltre questa definizione ha dato origine a diverse problematiche, legate in particolare al sistema di riferimento nel quale si effettua la misura: il concetto di inerzia, come quello di forza, fu infatti storicamente criticato da molti pensatori, tra i quali Berkeley, Ernst Mach, Percy Williams Bridgman e Max Jammer

Definizione machiana[modifica | modifica sorgente]

Il capitolo più importante per la storia del concetto venne dal tentativo di Mach di eliminare gli elementi metafisici che persistevano nell'edificio della Meccanica classica, riformulando la massa in una definizione chiara divenuta classica anche in quanto da questa prese poi le mosse la Relatività generale, anche se non risolutiva tant'è che Einstein stesso disperò nell'includere il principio di Mach all'interno della Teoria. Questa si basa invece sul principio di azione-reazione, lasciando che il principio di proporzionalità definisca successivamente la forza. Consideriamo un sistema isolato formato da due corpi (puntiformi) interagenti tra loro. Qualunque sia la forza che agisce fra i due corpi, si osserva sperimentalmente che le accelerazioni subite dai due corpi sono sempre proporzionali[9] e in rapporto costante fra loro:

\vec{a}_2=-\mu_{12}\vec{a}_1

Ciò che è particolarmente rilevante è che il rapporto \mu_{12} fra le due accelerazioni istantanee non solo è costante nel tempo, ma non dipende dallo stato iniziale del sistema: è quindi associato a una proprietà fisica intrinseca dei due corpi in esame. Cambiando uno dei due corpi, varia anche la costante di proporzionalità. Supponiamo quindi di utilizzare tre corpi, ed effettuare separatamente tre esperimenti con le tre possibili coppie (assumiamo sempre l'assenza di forze esterne). In questo modo potremo misurare le costanti \mu_{12}, \mu_{23}, \mu_{31}. Si noti che per definizione

\mu_{ab}=\frac{1}{\mu_{ba}}.

Confrontando i valori delle costanti osservate, si troverà invariabilmente che questi soddisfano la relazione \mu_{12}\cdot\mu_{23}\cdot\mu_{31}=1. Quindi il prodotto \mu_{12}\cdot\mu_{31}, essendo uguale a \mu_{23}, non dipende dalla natura del corpo 1, pertanto \mu_{23} ne risulta indipendente. Da questo si ricava che ogni coefficiente \mu_{ij} deve poter essere espresso come prodotto di due costanti, ognuna dipendente solo da uno dei due corpi. Chiamiamo \mu_{ab}=\nu_b \cdot m_a; ma deve valere identicamente

\mu_{ab}=\nu_b m_a=\frac{1}{\nu_a m_b}=\frac{1}{\mu_{ba}} \quad \Rightarrow\begin{cases} \nu_a=\frac{1}{m_a} \\ \nu_b=\frac{1}{m_b} \end{cases}

quindi

\mu_{ij}=\frac{m_i}{m_j}\quad\Rightarrow\quad m_i\vec{a}_i=-m_j\vec{a}_j

in ogni istante, per qualunque coppia di corpi. La quantità m che risulta così definita (a meno di un fattore costante, che corrisponde alla scelta dell'unità di misura) è chiamata massa inerziale del corpo: è quindi possibile misurare la massa di un corpo misurando le accelerazioni dovute alle interazioni tra questo e un altro corpo di massa nota, senza bisogno di conoscere quali siano le forze agenti fra i due punti (purché il sistema formato dai due corpi si possa considerare isolato, ossia non soggetto a forze esterne). Il legame tra le masse è dato da:

m_2=\frac{a_1}{a_2}m_1

Massa gravitazionale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi forza di gravità.
Una palla in caduta libera, ripresa da uno stroboscopio con una frequenza pari a 0.05 s. La velocità di caduta è indipendente dalla massa gravitazionale della palla.

Consideriamo un corpo, per esempio una palla da tennis. Notiamo che se la palla è lasciata libera in aria, essa è attratta verso il basso da una forza, in prima approssimazione costante, chiamata forza peso. Tramite una bilancia a piatti si può notare che corpi diversi, in generale, sono attratti diversamente dalla forza peso, cioè pesano diversamente. La bilancia a piatti si può usare per dare una definizione operativa della massa gravitazionale: si assegna massa unitaria a un oggetto campione e gli altri oggetti hanno una massa pari al numero di campioni necessari a bilanciare i piatti.

La massa gravitazionale passiva è una grandezza fisica proporzionale all'interazione di ciascun corpo con il campo gravitazionale. All'interno dello stesso campo gravitazionale, un corpo con massa gravitazionale piccola sperimenta una forza minore di quella di un corpo con massa gravitazionale grande: la massa gravitazionale è proporzionale al peso, ma mentre quest'ultimo varia a seconda del campo gravitazionale, la massa resta costante. Per definizione, possiamo esprimere la forza peso P come il prodotto della massa gravitazionale mg per un vettore g, chiamato accelerazione di gravità, dipendente dal luogo nel quale si effettua la misurazione e le cui unità di misura dipendono da quella della massa gravitazionale.[10] La direzione del vettore g è chiamata verticale.

Come detto precedentemente, la massa gravitazionale attiva di un corpo è proporzionale all'intensità del campo gravitazionale da esso generata. Maggiore è la massa gravitazionale attiva di un corpo, più intenso è il campo gravitazionale da esso generato, e quindi la forza esercitata dal campo su un altro corpo; per fare un esempio, il campo gravitazionale generato dalla Luna è minore (a parità di distanza dal centro dei due corpi celesti) di quello generato dalla Terra perché la sua massa è minore. Misure di masse gravitazionali attive si possono eseguire, per esempio, con bilance di torsione come quella usata da Henry Cavendish nella determinazione della costante di gravitazione universale.

Equivalenza tra massa gravitazionale attiva e passiva[modifica | modifica sorgente]

L'equivalenza tra la massa gravitazionale attiva e quella passiva è una diretta conseguenza del terzo principio della dinamica di Newton: chiamiamo F12 il modulo della forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2, F21 il modulo della forza che il corpo 2 esercita sul corpo 1 e m1A, m2A, m1P e m2P le masse gravitazionali, attive e passive, dei due corpi. Abbiamo:

F_{12}=G\frac{m_{2P}m_{1A}}{r^2}=G\frac{m_{1P}m_{2A}}{r^2}=F_{21}

da cui:

m_{2P}m_{1A}=m_{1P}m_{2A}

cioè

\frac{m_{1A}}{m_{1P}}=\frac{m_{2A}}{m_{2P}}

Data l'arbitrarietà dei corpi, le leggi della meccanica classica stabiliscono la sostanziale equivalenza tra le masse gravitazionali attive e passive; molte verifiche sperimentali si sono aggiunte nel tempo, come per esempio quella di D. F. Bartlett e D. Van Buren del 1986 compiuta sfruttando la diversa composizione della crosta e del mantello lunari, con una precisione sull'uguaglianza del rapporto massa gravitazionale attiva/massa gravitazionale passiva pari a 4×10−12.[11]

Da qui in poi le masse gravitazionali attiva e passiva saranno identificate dall'unico termine massa gravitazionale.

La massa gravitazionale è a tutti gli effetti la carica del campo gravitazionale, esattamente nello stesso senso in cui la carica elettrica è la carica del campo elettrico: essa contemporaneamente genera e subisce gli effetti del campo gravitazionale. Notiamo che eventuali oggetti con massa gravitazionale nulla (es. fotoni) non subirebbero gli effetti del campo: in realtà un risultato della relatività generale è che qualunque corpo segue una traiettoria dovuta al campo gravitazionale. Per ulteriori informazioni, vedi il paragrafo riguardante la massa nella relatività generale.

Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale[modifica | modifica sorgente]

Schema di un piano inclinato. L'utilizzo di un piano inclinato permette, se l'attrito è trascurabile, di osservare meglio gli effetti dell'accelerazione gravitazionale.

Gli esperimenti hanno dimostrato che la massa inerziale e quella gravitazionale sono sempre proporzionali con la stessa costante di proporzionalità, entro la precisione delle misure effettuate sinora.[12] I primi esperimenti furono condotti da Galileo; si dice comunemente che Galileo ottenne i suoi risultati lasciando cadere oggetti dalla torre di Pisa, ma ciò è probabilmente apocrifo: più verosimilmente studiò il moto di biglie tramite l'uso di piani inclinati. La biografia scritta da Vincenzo Viviani asserisce che Galileo abbia lasciato cadere sfere dello stesso volume ma di materiale diverso, cioè di diversa massa, dalla torre di Pisa,[13] ma fu probabilmente un esperimento mentale che non fu mai eseguito realmente; Galileo usò invece piani inclinati per rallentare la caduta dei corpi.[14][15]

Supponiamo di avere un oggetto di massa inerziale e gravitazionale rispettivamente mi ed mg. Se la forza peso è la sola forza agente sugli oggetti la seconda legge di Newton ci fornisce:

\vec F=m_i\vec a = m_g \vec g

da cui:

\vec a=\frac{m_g}{m_i}\vec g
Disegno della bilancia di torsione di Coulomb. Charles Augustin de Coulomb la usò per determinare l'omonima legge che esprime la forza esercitata tra due cariche elettriche.

Un esperimento di verifica dell'equivalenza tra le due definizioni di massa, una volta fissato il luogo (altrimenti potrebbe variare g) potrebbe consistere, per esempio, nel misurare a per diversi corpi cercando eventuali variazioni; in parole povere, verificare se due corpi qualsiasi, cadendo, accelerano nello stesso modo (universalità della caduta libera, oppure UFF dall'inglese universality of free fall). Come detto sopra, sperimentalmente non si riscontrano violazioni dell'equivalenza, quindi scegliendo la stessa unità di misura per le due masse il rapporto vale esattamente 1: per ogni corpo non solo massa gravitazionale e massa inerziale hanno le stesse unità di misura, ma sono anche espresse dallo stesso numero. Di conseguenza g è un'accelerazione, e viene chiamata infatti accelerazione di gravità.

Le verifiche sperimentali dell'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale e dell'UFF sono state effettuate mediante l'uso di piani inclinati (Galileo), pendoli (Newton), fino ad arrivare alle bilance di torsione (Loránd Eötvös). Attualmente la precisione raggiunta dagli esperimenti è nell'ordine di una parte su 1012, precisione ottenuta dalla misurazione della distanza lunare tramite laser. Sono previsti, o comunque in pianificazione, i lanci di diversi satellite artificiale come STEP (Satellite Test of the Equivalence Principle), MICROSCOPE (Micro-Satellite à traînée Compensée pour l'Observation du Principe d'Equivalence) e Galileo Galilei, che dovrebbero testare l'equivalenza a meno di una parte su 1018.[16]

Aiuto
Apollo 15, esperimento piuma-martello (info file)
L'astronauta dell'Apollo 15 David Randolph Scott lascia cadere sulla Luna una piuma e un martello, dando una dimostrazione dell'UFF (universalità della caduta libera)

Pendolo[modifica | modifica sorgente]

Un pendolo è formato da un lungo filo leggero (di massa trascurabile), vincolato al soffitto, alla cui estremità inferiore sia agganciata un corpo, per esempio una sfera metallica. Una misura del periodo del pendolo fornisce una misura del rapporto tra la massa gravitazionale e la massa inerziale del corpo: ripetendo la misura con corpi di vari materiali, densità e dimensioni è possibile verificare se questo rapporto rimanga costante o no. La misura è tanto più accurata quanto è piccolo l'angolo di oscillazione massimo θmax.[17]

L'equazione del moto del pendolo è data da:

m_i l^2\ddot \theta=m_g g l \, \mathrm{sen}{\theta}

Se θ è sufficientemente piccolo abbiamo:

\ddot \theta=\frac{m_g}{m_i} \frac{g}{l}\theta=\omega^2 \theta

dove ω è la pulsazione del pendolo. Il periodo d'oscillazione è dato da:

T=\frac{2\pi}{\omega}= 2\pi \sqrt{\frac{m_i}{m_g}} \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

da cui:

\frac{m_i}{m_g}=\frac{gT^2}{4 \pi^2 l}

Sperimentalmente, si osserva che T è costante per ogni massa usata, perciò per ogni corpo il rapporto mi / mg deve essere costante.

Bilancia di torsione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi esperienza di Eötvös.

Un esperimento decisamente più accurato fu compiuto da Loránd Eötvös a partire dal 1895[18][19] sfruttando la bilancia di torsione la cui invenzione è accreditata a Charles-Augustin de Coulomb nel 1777 (sebbene anche John Michell in maniera del tutto indipendente ne costruì una in periodo antecedente al 1783) e che fu successivamente perfezionata da Henry Cavendish. Una bilancia di torsione è formata da un braccio con due masse uguali alle estremità, vincolato al soffitto tramite un filo di un materiale opportuno (es. quarzo). Applicando una forza alle masse si applica un momento torcente al manubrio: grazie al fatto che la forza peso agente sulle masse ha anche una componente dovuta alla forza centrifuga causata dalla rotazione della terra sul suo asse, è possibile correlare massa inerziale e gravitazionale, che risultano sperimentalmente essere di diretta proporzionalità.

Sia il manubrio inizialmente diretto verso la direzione est-ovest. Definiamo un sistema di riferimento con l'asse x da sud a nord, l'asse y da ovest a est e l'asse z dal basso verso l'alto; α è la latitudine alla quale si svolge l'esperimento. Proiettando le forze gravitazionale e centrifuga sull'asse z abbiamo all'equilibrio:

m_{g1}g-m_{i1}\omega^2R_T\cos^2{\alpha}=m_{g2}g-m_{i2}\omega^2 R_T\cos^2{\alpha}

che si può anche scrivere come:

m_{i1} \left[ \frac{m_{g1}}{m_{i1}}g-\omega^2R_T \cos^2{\alpha}\right] = m_{i2} \left[ \frac{m_{g2}}{m_{i2}}g-\omega^2R_T \cos^2{\alpha}\right]

Se il rapporto tra le masse gravitazionali e le masse inerziali fosse diverso, ciò implicherebbe la diversità delle masse inerziali dei due corpi: ma ciò causerebbe una rotazione sul piano xy, dovuta alla componente orizzontale della forza centrifuga. I momenti delle forze, proiettati sull'asse orizzontale danno:

m_{i1}\omega^2R_T\cos{\alpha} \, \mathrm{sen}{\alpha}=m_{i2}\omega^2R_T\cos{\alpha} \, \mathrm{sen}{\alpha}

Se questa relazione non fosse verificata si avrebbe un momento torcente agente sulla bilancia e di conseguenza una rotazione dell'apparato sperimentale; invertendo le masse si otterrebbe ovviamente una rotazione nel senso opposto. Eötvös non notò nessuna torsione del filo entro gli errori sperimentali, e quindi stabilì l'equivalenza delle masse gravitazionali e inerziali a meno di un fattore nell'ordine di 10−9 (una parte su un miliardo)[20]

Legge della conservazione della massa[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge della conservazione della massa (fisica).

Nella meccanica classica vige la fondamentale legge della conservazione della massa, in varie formulazioni. In generale, dato un volume di controllo V, fissato, la variazione della massa contenuta in esso è pari al flusso uscente della massa attraverso la frontiera \partial V, cioè attraverso la superficie chiusa che delimita il volume V, cambiato di segno: in parole povere, la variazione di massa di un sistema è uguale alla massa entrante meno la massa uscente; ciò implica, per esempio, che la massa non può venire né creata né distrutta, ma solo spostata da un luogo a un altro. In chimica, Antoine Lavoisier stabilì nel XVIII secolo che in una reazione chimica la massa dei reagenti è uguale alla massa dei prodotti.

Il principio di conservazione della massa vale con ottima approssimazione nell'esperienza quotidiana, ma cessa di valere nelle reazioni nucleari e, in generale, nei fenomeni che coinvolgono energie relativistiche: in questo caso esso viene incorporato nel principio di conservazione dell'energia (vedi oltre).

Massa elettromagnetica[modifica | modifica sorgente]

Oggetti carichi possiedono una inerzia maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta reazione di campo; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del corpo ed è ricavabile dalle equazioni di Maxwell. L'interazione delle cariche elettriche con il campo dipende dalla geometria del sistema: l'inerzia di un corpo carico assume un carattere tensoriale, in contraddizione con la meccanica classica, e bisogna perciò distinguere tra una componente parallela al moto e due componenti trasversali. Si dimostra che si può dividere la massa inerziale di un corpo carico in due componenti, la massa elettromagnetica e la massa non-elettromagnetica. Mentre la massa elettromagnetica dipende dalla geometria del sistema, la massa non-elettromagnetica ha le stesse caratteristiche "standard" di invarianza della massa inerziale, e a essa si riconduce la massa inerziale se il corpo è scarico.

Il concetto di massa elettromagnetica esiste anche nella teoria della relatività ristretta e nella teoria quantistica dei campi.[21] La massa elettromagnetica ebbe una grande importanza nella storia della fisica a cavallo tra i secoli XIX e XX a causa del tentativo, portato avanti principalmente da Max Abraham e Wilhelm Wien, inizialmente supportato dai lavori sperimentali di Walter Kaufmann, di ricavare la massa inerziale unicamente dall'inerzia elettromagnetica; questa interpretazione dell'inerzia fu però in seguito abbandonata con l'accettazione della teoria della relatività; esperimenti più precisi, eseguiti per la prima volta da A.H. Bucherer nel 1908, mostrarono che le relazioni corrette per la massa longitudinale e la massa trasversa non erano quelle fornite da Abraham, ma quelle di Hendrik Antoon Lorentz (vedi il paragrafo successivo).

Relatività ristretta[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi massa a riposo e massa relativistica.

Nella relatività ristretta, il termine "massa" (o massa propria, o massa a riposo) si riferisce solitamente alla massa inerziale di un corpo così come viene misurata nel sistema di riferimento nel quale è in quiete. Anche in questo caso la massa è una proprietà intrinseca di un corpo e l'unità di misura è la stessa, il kilogrammo. Si può ancora determinare la massa di un oggetto come rapporto tra forza e accelerazione, a patto che si faccia in modo che la velocità del corpo sia molto più piccola di quella della luce. Infatti, ad alte velocità, il rapporto tra la forza impressa F e l'accelerazione a del corpo dipende in maniera sostanziale dalla sua velocità nel sistema di riferimento scelto, o meglio dal fattore di Lorentz relativo alla velocità alla quale si trova il corpo: in particolare se facciamo tendere la velocità all'infinito, il rapporto diverge. Il legame tra forza F e accelerazione A per un corpo con massa a riposo non nulla m\ne 0, con velocità v lungo l'asse x in un sistema di riferimento inerziale (del laboratorio), si ricava esprimendo le componenti spaziali della quadriaccelerazione e della quadriforza nel sistema di riferimento del laboratorio:

K_{\alpha}=mA_{\alpha}, \quad K_{\alpha}=\gamma F_{\alpha}, \quad A_{\alpha}=\gamma^2a_{\alpha}+\frac{\gamma^4}{c^2}(\vec v \cdot \vec a) v_{\alpha}
\gamma F_{\alpha}=m \left(\gamma^2a_{\alpha}+\frac{\gamma^4}{c^2}(\vec v \cdot \vec a) v_{\alpha} \right) \qquad \alpha = x,y,z

Sostituendo \vec v=(v,0,0), con semplici passaggi si ottengono le seguenti relazioni, dovute a Lorentz:

\qquad \begin{cases}F_x = \gamma^3 m a_x\,\! \\
                    F_y = \gamma m a_y\,\!  \\
                    F_z = \gamma m a_z\,\! \end{cases}

Se la velocità del corpo è molto minore della velocità della luce c, i fattori di Lorentz γ tendono a 1, perciò la massa a riposo del corpo è proprio equivalente alla massa inerziale.

Storicamente, nell'ambito della relatività ristretta si hanno altre definizioni di massa oltre a quella di "massa a riposo". Definendo massa il rapporto tra quantità di moto e la velocità otteniamo quella che viene indicata con massa relativistica M=\gamma m. Se invece cerchiamo di identificare la massa come rapporto tra forza e accelerazione dobbiamo distinguere tra massa longitudinale M_L=\gamma^3 m e massa trasversa M_T=\gamma m, introdotte dal fisico tedesco Max Abraham;[22] notiamo che questa distinzione tra le componenti della massa è analoga al caso della massa elettromagnetica. Sia la massa relativistica che le masse longitudinale/trasversa non sono considerate buone definizioni di massa in quanto dipendono dal sistema di riferimento nel quale la massa è misurata, e sono oggi in disuso. Utilizzando questi concetti, il sistema di equazioni precedente diventa:

\qquad \begin{cases}F_x =\gamma^2 M a_x\,\! \\
                    F_y = \,\,\, M a_y\,\!  \\
                    F_z = \,\,\, M a_z\,\! \end{cases}

\qquad \begin{cases}F_x = M_L a_x\,\! \\
                    F_y = M_T a_y\,\!  \\
                    F_z = M_T a_z\,\! \end{cases}

Corrispondenza massa - energia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi principio di conservazione.
Diagramma della reazione nucleare di fusione tra un atomo di deuterio e uno di trizio: i prodotti sono un atomo di elio e un neutrone ad alta energia.

L'energia E è definita in relatività ristretta come il prodotto tra la velocità della luce c e la componente temporale P0 del quadrimpulso (o quadrivettore quantità di moto). In formule:

E:=cP_0=c \cdot \gamma mc= \gamma mc^2

dove γ è il fattore di Lorentz relativo alla velocità del corpo. Se misuriamo l'energia di un corpo fermo, chiamata energia a riposo E0, otteniamo:

E_0=mc^2

Questa equazione stabilisce una corrispondenza tra massa a riposo di un corpo ed energia: in altri termini, ogni corpo con massa a riposo diversa da zero possiede una energia a risposo E0 dovuta unicamente al fatto di avere massa.

Questa equazione permette inoltre di incorporare il principio di conservazione della massa nel principio di conservazione dell'energia: per esempio l'energia del Sole è dovuta a reazioni termonucleari nelle quali la massa a riposo degli atomi che intervengono nella reazione è maggiore della massa dei prodotti, ma si conserva l'energia totale in quanto il difetto di massa viene convertito in energia (cinetica) e liberato successivamente dai prodotti sotto forma di fotoni e neutrini oppure negli urti con altri atomi.

L'equazione implica di fatto che la massa inerziale totale di un sistema isolato, in generale, non si conserva.[23] La conservazione della massa in meccanica classica può essere interpretata come parte della conservazione dell'energia quando non si verificano reazioni nucleari o subnucleari, che implicano variazioni significative della somma delle masse a riposo del sistema; al contrario, data la piccolezza del difetto di massa nei legami chimici, la massa è praticamente conservata nelle reazioni chimiche.

L'equazione Energia-quantità di moto[modifica | modifica sorgente]

Nella meccanica relativistica abbiamo una relazione notevole che lega massa a riposo di un corpo, la sua energia e la sua quantità di moto. Dalla definizione di energia abbiamo:

E=cP_0=\gamma mc^2 =\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \quad \Rightarrow \quad P_0=\frac{E}{c}

dove γ è il fattore di Lorentz. Le componenti spaziali Pα del quadrimpulso sono invece:

P_{\alpha}=\gamma m v_{\alpha}

D'altra parte il vettore è uno scalare m per una quadrivelocità: la norma quadra di un tale quadrivettore vale sempre -m²c²[24], perciò, chiamando p la norma euclidea del vettore tridimensionale quantità di moto (cioè l'intensità dell'usuale quantità di moto moltiplicata per il fattore γ):

|\mathbf{P}|^2=-P_0^2+\sum_{\alpha}P_{\alpha}^2=-P_0^2+p^2=-m^2c^2

Sostituendo nell'ultima equazione quelle precedenti otteniamo l'equazione cercata:

-\frac{E^2}{c^2}+p^2=-(mc)^2 \quad \rightarrow \quad E^2-(pc)^2=(mc^2)^2 \quad \rightarrow \quad m= \sqrt{\frac{E^2-(pc)^2}{c^4}}

Da questa equazione si nota come anche particelle con massa nulla possano avere energia/quantità di moto diverse da zero. Nella meccanica classica invece una forza piccola a piacere produrrebbe un'accelerazione infinita su una ipotetica particella di massa nulla ma la sua energia cinetica e quantità di moto resterebbero pari a zero. Invece all'interno della relatività ristretta quando m = 0, la relazione si semplifica in:

E = pc.

Per esempio, per un fotone si ha E=h\nu , dove ν è la frequenza del fotone: la quantità di moto del fotone è quindi pari a:

p=\frac{h\nu}{c}.

Relatività generale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi principio di equivalenza.

La meccanica classica si limita a prendere atto della proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale come fenomeno empirico ma tenendo queste due grandezze ben distinte e separate. Solo con la teoria della relatività generale si ha una unificazione dei due concetti, risultato che, secondo Albert Einstein, dà "alla teoria generale della relatività una tale superiorità rispetto alla meccanica classica che tutte le difficoltà che si incontrano nel suo sviluppo vanno considerate ben poca cosa"[25].

Uno dei principi sui quali si basa la relatività generale è il principio di equivalenza. Nella sua versione forte, esso afferma che in un campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che sia localmente inerziale, cioè che in un intorno sufficientemente piccolo del punto le leggi del moto assumono la stessa forma che avrebbero in assenza di gravità. È facile verificare che questo principio implica il principio di equivalenza debole, che sancisce proprio l'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale: infatti supponiamo di avere due corpi sottoposti unicamente alla forza di gravità (supponiamo che siano abbastanza vicini da poter trascurare eventuali variazioni del campo gravitazionale).

Esperimento dell'ascensore di Einstein: una palla cade sul pavimento in un razzo accelerato (a sinistra) e sulla Terra (a destra).

Se la massa inerziale e quella gravitazionale dei due corpi fossero diverse, esse subirebbero accelerazioni diverse, ma allora sarebbe impossibile trovare un sistema di riferimento nel quale viaggino entrambe di moto rettilineo uniforme, cioè in condizione di assenza di forze.

Un celebre esperimento mentale che si basa sull'equivalenza tra la massa inerziale e quella gravitazionale è quello dell'ascensore di Einstein. In una delle versioni di questo esperimento, una persona si trova all'interno di una cabina chiusa, senza la possibilità di osservare l'esterno; lasciando cadere una palla, osserva che cade con una accelerazione g = 9.81 m/s². Schematizzando, ciò può essere dovuto a due motivi:

  1. La cabina si trova nello spazio a bordo di un razzo che la accelera con un'accelerazione pari proprio a g. In questo caso l'accelerazione della palla vista dall'osservatore è una accelerazione di trascinamento, dovuta al fatto che la cabina non è un sistema di riferimento inerziale;
  2. La cabina è immobile sulla superficie terrestre. La palla cade evidentemente a causa della forza di gravità terrestre.

Einstein diede molta importanza al fatto che l'osservatore non possa decidere, dal suo punto di vista, quale delle due situazioni si verifichi realmente: ciò determina una sostanziale equivalenza tra i sistemi di riferimento accelerati e quelli sottoposti alla forza di gravità. Questo esperimento mentale è una delle linee-guida che hanno portato Albert Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale, tramite una rivisitazione del principio d'inerzia: infatti i corpi liberi non percorrono sempre delle rette, ma delle geodetiche nello spazio-tempo, curvato dalla presenza di masse. Si noti che in uno spazio-tempo piatto, cioè nel quale vige la metrica di Minkowski, in assenza di forze gravitazionali, le geodetiche sono proprio rette e ci si riconduce quindi al principio d'inerzia newtoniano.

Meccanica quantistica relativistica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria quantistica dei campi e Rinormalizzazione.
Questo diagramma di Feynman, chiamato di auto-energia dell'elettrone, rappresenta un elettrone (linea continua) che, entrando da un lato, emette e assorbe un fotone virtuale (linea ondulata). Il calcolo di questo diagramma porta a un risultato infinito e deve pertanto essere trattato con la teoria della rinormalizzazione; una volta regolarizzato e rinormalizzato, il suo effetto è modificare il valore della massa dell'elettrone.

Sul finire degli anni trenta si è capito che l'unione della meccanica quantistica con la relatività ristretta doveva portare allo sviluppo di teorie fisiche delle interazioni elementari in termini di campi quantizzati. In questa rappresentazione le particelle elementari sono descritte come eccitazioni quantizzate dello stato di vuoto, che può contenere un numero intero di particelle e/o antiparticelle di ogni tipo, create e distrutte nelle interazioni fra i campi. Il formalismo necessario a questo salto concettuale è contenuto nella procedura della seconda quantizzazione.[26]

In prima quantizzazione, l'evoluzione dei campi relativistici è governata da varie equazioni, analoghe dell'equazione di Schrödinger, la cui forma dipende dai gradi di libertà e dal tipo di particelle che sono descritte. Ad esempio un campo scalare soddisfa l'equazione di Klein-Gordon:

\left( \Box + m^2 \right) \phi(\vec x, t)=0

e descrive i bosoni di spin nullo; l'equazione di Dirac:

\left( i \partial \! \! \! / -m \right) \psi(\vec x, t)=0

descrive invece i fermioni di spin 1/2. Le soluzioni di queste equazioni soddisfano esattamente la relazione di dispersione fra energia e momento richiesta dalla relatività ristretta:[27]

E^2=m^2+|\vec p|^2.

Nonostante questo, la probabilità per una particella di spin nullo di propagarsi al di fuori del cono luce è non nulla, sebbene esponenzialmente decrescente.[28] Per risolvere questa e altre inconsistenze si rese necessario lo sviluppo della teoria di campo quantistica.[28]

Nell'ambito delle teorie di campo, e quindi della seconda quantizzazione, la situazione è più complicata a causa del fatto che le particelle fisiche sono descritte in termini di campi e interagiscono tra di loro attraverso lo scambio di particelle virtuali. Per esempio, nell'elettrodinamica quantistica, un elettrone ha una probabilità non nulla di emettere e riassorbire un fotone, oppure un fotone può creare una coppia elettrone-positrone che a loro volta, annichilendosi, formano un fotone identico all'originale. Questi processi sono inosservabili direttamente, ma producono effetti sulla misura delle "costanti" delle teorie fisiche che dipendono dalla scala di energie a cui queste stesse costanti vengono misurate. Ad esempio, in una teoria asintoticamente libera, come la cromodinamica quantistica per le interazioni nucleari forti, la massa dei quark tende a decrescere logaritmicamente con l'aumentare dell'energia.[29][30] Questa dipendenza dalla scala delle masse e delle costanti di accoppiamento è il principale risultato ottenuto dalla teoria della rinormalizzazione.

Bosone di Higgs[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Bosone di Higgs.

La predizione teorica del bosone di Higgs nasce dal fatto che alcune particelle mediatrici di forza sono massive e per descriverle consistentemente con le procedure della rinormalizzazione, la relativa teoria deve essere invariante rispetto alle simmetrie interne di gauge. È facile mostrare che le lagrangiane contenenti termini espliciti di massa (come quelli con la m nelle equazioni del moto del paragrafo precedente) rompono la simmetria di gauge. Per ovviare a questo problema si introduce un campo, detto campo di Higgs, accoppiato agli altri campi (fermioni e campi di gauge) in modo da fornire, sotto determinate ipotesi, un termine di massa che mantenga la simmetria del sistema sotto trasformazioni interne. Il meccanismo di Higgs è il metodo più semplice[31] di dare massa alle particelle in modo completamente covariante, e il bosone di Higgs è considerato il "tassello mancante" del modello standard. A rigor di termini, il meccanismo di Higgs è l'accoppiamento necessario a dare massa ai bosoni vettori W e Z, mentre la massa dei leptoni (elettroni, muoni, tauoni) e dei quark, ovverosia dei fermioni, è regolata dalla interazione di Yukawa; si noti che gli accoppiamenti del bosone di Higgs con i fermioni non discendono da principi primi, ma sono anch'essi numeri introdotti "ad hoc" nelle equazioni.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Questa equivalenza costituisce il cuore del principio di equivalenza debole, uno dei principali indizi che spinsero Albert Einstein alla costruzione della teoria della relatività generale.
  2. ^ Tra questi autori si trovano Lev Okun [1], [2] e Einstein stesso
  3. ^ Il legame fra massa ed energia stabilito dalla relatività ristretta fa sorgere l'interrogativo se la massa e l'energia si debba considerare due forme di una stessa grandezza fisica. Su questo sono stati avanzati diversi punti di vista, cfr. Max Jammer, Concept of Mass in Contemporary Physics and Philosophy, ISBN 0-691-01017-X, Princeton University Press, 1999, Pagina 88. . Si deve però notare che il rapporto fra massa ed "energia a riposo" nella formula E = mc² non è adimensionale (anche se in alcuni contesti si usano unità di misura naturali, in cui c = 1); pertanto E ed m si devono considerare grandezze fisiche concettualmente distinte. L'"energia a riposo" di un corpo materiale, inoltre, non è fisicamente osservabile, se non attraverso la misura della massa.
  4. ^ (IT) Sito INFN, Comunicato INFN sul Bosone di Higgs; (EN) LHC Milestones, cronologia della costruzione dell'LHC.
  5. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "mass"
  6. ^ Può sembrare strano che l'unità di misura di una grandezza fondamentale non abbia un suo simbolo proprio ma utilizzi quello di un suo sottomultiplo, il grammo (g). In realtà, proprio l'importanza della massa ha indotto a conservare nell'uso il simbolo della "vecchia" unità di misura (adottata nel "vecchio" sistema CGS), anche quando si è passati al "nuovo" sistema SI, in cui si considera unitaria non più la massa di un grammo ma quella di un chilogrammo, 1000 volte più grande della prima.
  7. ^ Più comunemente un milione di elettronvolt, ovvero un MeV
  8. ^ Carlo Dionisi ed Egidio Longo, Dispense di fisica nucleare e subnucleare, capitolo 1, pag 5.
  9. ^ Due vettori sono proporzionali se hanno la stessa direzione, cioè sono collineari: nel caso in esame, le due accelerazioni sono sempre dirette lungo la retta passante per i due corpi puntiformi.
  10. ^ Nota bene: non abbiamo ancora dimostrato effettivamente che ha le dimensioni di un'accelerazione: è impossibile farlo senza dimostrare l'equivalenza delle masse inerziale e gravitazionale.
  11. ^ (EN) D. F. Bartlett, Dave Van Buren, Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon, Phys. Rev. Lett. 57, 21 - 24 (1986).
  12. ^ C. Mencuccini e V. Silvestrini, III.6, in Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0, Liguori Editore, 1996, Pagine 72-74..
  13. ^ Drake, Stillman (1978). Galileo At Work. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-16226-5
  14. ^ (EN) Rick Groleau, Galileo's Battle for the Heavens, luglio 2002.
  15. ^ (EN) Phil Ball, Science history: setting the record straight., 30 giugno 2005.
  16. ^ (EN) Patrick Barry, The Equivalence Principle, 18 maggio 2007.
  17. ^ Se l'ampiezza dell'oscillazione \theta_\mathrm{max} non è piccola, è possibile considerare delle correzioni nella formula del periodo dipendenti da θmax. La formula esatta del periodo, valida per qualunque angolo, è:
    T=4\sqrt{\frac{m_i}{m_g}} \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}K\left(\mathrm{sen} \frac{\theta_\mathrm{max}}{2}\right)
    dove K è l'integrale ellittico completo di prima specie.
  18. ^ (DE) R. v. Eötvös, Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, 8, 65, 1890.
  19. ^ (DE) R. v. Eötvös, in Verhandlungen der 16 Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung, G. Reiner, Berlino, 319, 1910.
  20. ^ (EN) Geodetic applications of torsion balance mesurements in Hungary, PDF.
  21. ^ (EN) V.A. Kuligin, G.A. Kuligina, M.V. Korneva, The Electromagnetic Mass of a Charged Particle in Apeiron, vol. 3, n. 1, gennaio 1996.
  22. ^ (EN) Lorentz, H.A. (1899), "Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems", Proc. Roy. Soc. Amst.: 427-442
  23. ^ Si conserva, invece, la massa relativistica. Se E è una costante, allora lo è anche mrel = E / c². Questo è uno dei motivi per cui alcuni scienziati preferiscono usare il concetto di massa relativistica. Si veda per esempio questo articolo in inglese di Q. ter Spill.
  24. ^ Qui si usa la convenzione sui segni della metrica (-,+,+,+).
  25. ^ Albert Einstein, Il significato della Relatività, 3ª ed., ISBN 88-8183-585-1, Newton & Compton Editori, 2005, Pagina 63..
  26. ^ (EN) Steven Weinberg, What is Quantum Field Theory, and What Did We Think It Is? in ArXiv, febbraio 1997. (Abstract). URL consultato il 21 marzo 2012.
  27. ^ (EN) W. N. Cottingham, D. A. Greenwood, An Introduction to the Standard Model of Particle Physics, 2ª ed., Cambridge University Press, 2007, p. 58. ISBN 978-0-521-85249-4.
  28. ^ a b (EN) Claude Itzykson, Jean Bernard Zuber, Quantum Field Theory, Dover Publications, 2006.
  29. ^ (EN) D. J. Gross, F. Wilczek, Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories in Phys. Rev. Lett., vol. 30, 1973, pp. 1343-1346. (Abstract). URL consultato il 21 marzo 2012.
  30. ^ (EN) H. David Politzer, Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? in Phys. Rev. Lett., vol. 30, 1973, pp. 1346-1349. (Abstract). URL consultato il 21 marzo 2012.
  31. ^ Ma non l'unico: esistono tutta una serie di teorie con un numero maggiore di campi di Higgs, oppure modelli "Higgsless", nel quale la massa delle particelle non è causata dall'interazione con un campo di Higgs.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Max Jammer, Storia del concetto di massa nella fisica classica e moderna, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • (EN) Max Jammer, Concept of Mass in Contemporary Physics and Philosophy, Princeton University Press, 1999. ISBN 0-691-01017-X.
  • (EN) Drake, Stillman, Galileo At Work, Chicago, University of Chicago Press, 1978. ISBN 0-226-16226-5.
  • (EN) C. M. Will, Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge, Cambridge University Press, 1993.

Articoli:

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Fisici
Teorie e concetti di fisica

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