Metrica di Reissner-Nordström

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In fisica e astronomia, la metrica di Reissner-Nordström è una soluzione statica alle equazioni di campo di Einstein nello spazio vuoto, che corrisponde al campo gravitazionale di un corpo sfericamente simmetrico, carico, non-rotante e di massa M.

La Metrica[modifica | modifica sorgente]

Scoperta da Hans Reissner e Gunnar Nordström, la metrica può essere scritta come


c^2 (d \tau)^2 = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right) c^{2} (dt)^2 - \frac{(dr)^2}{1 - \dfrac{r_{s}}{r} + \dfrac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}} - r^{2} (d\Omega)^2

dove

τ è il tempo proprio (tempo misurato da un orologio che si muove con la particella) in secondi,
c è la velocità della luce in metri per secondo,
t è il tempo coordinata (misurato da un orologio stazionario all'infinito) in secondi,
r è la coordinata radiale (circonferenza di un cerchio centrato sulla stella divisa da 2π) in metri,
Ω è l'angolo solido,
rs è il raggio di Schwarzschild (in metri) del corpo massivo, il quale è relazionato alla sua massa M da

r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
dove G è la costante gravitazionale, e
rQ è una lunghezza di scala corrispondente alla carica elettrica Q della massa

r_{Q}^{2} = \frac{Q^{2}G}{4\pi\epsilon_{0} c^{4}}
dove 1/4πε0 è la costante della forza di Coulomb. [1]

Nel limite in cui la carica Q (o in modo equivalente, la lunghezza scala rQ) vada a zero, si recupera la metrica di Schwarzschild. La classica teoria newtoniana della gravità può allora essere riottenuta quando il rapporto rs/r va a zero. In questo limite, la metrica ritorna alla metrica di Minkowski per la relatività speciale


c^2 (d\tau)^2 = c^2 (dt)^2 - (dr)^2 - r^2 (d\Omega)^2.\,

In pratica, il rapporto rs/r è quasi sempre molto piccolo. Per esempio, il rapporto di Schwarzschild rs della Terra è approssimativamente 9 mm (³⁄8 pollici); siccome un satellite in un'orbita geosincrona ha a raggio r che è approssimativamente quattro miliardi di volte più grande, a 42,164 km (26,200 miglia). Anche sulla superficie della Terra le correzioni alla gravità newtoniana sono solo una parte su un miliardo. Il rapporto diventa grande solo vicino ai buchi neri ed altri oggetti molto compatti come le stelle di neutroni.

Buchi neri carichi[modifica | modifica sorgente]

Sebbene i buchi neri carichi con r_{Q} \ll r_{s} sono simili al buco nero di Schwarzschild, essi hanno due orizzonti: l'orizzonte degli eventi e un orizzonte di Cauchy interno. Come al solito, l'orizzonte degli eventi per lo spaziotempo può essere trovato analizzando l'equazione


g_{tt}= 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} = 0.

Questa equazione quadratica per r ha soluzioni


r_\pm = \frac{r_{s} \pm \sqrt{r_{s}^2 - 4r_{Q}^2}}{2}.

Questi orizzonti degli eventi concentrici diventano degeneri per 2r_{Q}=r_{s} alla quale corrisponde un buco nero estremale. Si pensa che i buchi neri con 2r_{Q}>r_{s} non possano esistere in natura a causa della presenza di una singolarità nuda; a tale proposito si veda la ipotesi di censura cosmica di Roger Penrose. Le teorie di supersimmetria di solito garantiscono che tali buchi neri "superestremali" non possano esistere.

Il potenziale elettromagnetico è


A_{\alpha} = \left(\frac{Q}{r}, 0, 0, 0\right).

Se vengono inclusi anche i monopoli magnetici, allora si può generalizzare il risultato includendo la carica magnetica P, ovvero sostituendo Q^2 con Q^2 + P^2 nella metrica e includendo il termine P \cos \theta d \phi nel potenziale elettromagnetico.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Landau 1975.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) H Reissner, Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einstein'schen Theorie in Annalen der Physik, vol. 50, 1916, pp. 106–120. DOI:10.1002/andp.19163550905.
  • (EN) G Nordström, On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory in Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam, vol. 26, 1918, pp. 1201–1208.
  • (EN) R Adler, Bazin M, and Schiffer M, Introduction to General Relativity, New York, McGraw-Hill Book Company, 1965, pp. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
  • (EN) RM Wald, General Relativity, Chicago, The University of Chicago Press, 1984, pp. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]