Formalismo ADM

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Richard Arnowitt, Stanley Deser e Charles Misner alla ADM-50: una celebrazione dell'attuale innovazione della relatività generale[1] alla Texas A&M University, in onore del 50º anniversario della pubblicazione, novembre 2009[2]

Il formalismo ADM sviluppato da Arnowitt, Deser e Misner è un formulazione hamiltoniana della relatività generale. Questa formulazione gioca un ruolo importante sia nella gravità quantistica che nella relatività numerica.

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

Il formalismo suppone che lo spazio-tempo sia foliato in una famiglia di superfici tipo-spazio \Sigma_t, definite per mezzo delle loro coordinate temporali t, e con coordinate su ogni sezione (slice) data tramite x^i. Le variabili dinamiche di questa teoria sono in misura pari al tensore metrico di tre sezioni spaziali dimensionali \gamma_{ij}(t,x^k) e i loro momenti coniugati \pi^{ij}(t,x^k). Usando queste variabili è possibile definire un'hamiltoniana, e quindi scrivere le equazioni del moto per la relatività generale in forma di equazioni hamiltoniane.

Oltre alle dodici variabili \gamma_{ij} e \pi^{ij}, ci sono quattro moltiplicatori lagrangiani: la funzione di errore, N, e i componenti di campo vettoriale di spostamento, N_i. Questi descrivono come ognuna delle "foglie" \Sigma_t della foliazione dello spazio-tempo sono saldate insieme. Le equazioni di moto per queste variabili possono essere liberamente specificate; questa libertà corrisponde alla libertà di specificare come layout il sistema di coordinate nello spazio e nel tempo.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Notazione[modifica | modifica sorgente]

La maggior parte dei riferimenti adottano la notazione in cui quattro tensori dimensionali sono scritti nella notazione astratta degli indici, e che gli indici greci sono gli indici di spazio-tempo che assumono valori (0, 1, 2, 3) e gli indici latini sono indici spaziali che assumono valori (1, 2, 3). Nella derivazione qui, un esponente (4) è anteposto alla quantità che in genere hanno sia la versione tridimensionale che quella quadridimensionale, come il tensore metrico per le sezioni tridimensionali g_{ij} e il tensore metrico per lo spazio-tempo completo a quattro dimensioni {^{(4)}}g_{\mu \nu}.

Il testo usa qui la notazione di Einstein in cui si assume la sommatoria su indici ripetuti.

Sono usate due tipi di derivate: le derivate parziali sono denotate sia dall'operatore \partial_{i} o dagli esponenti preceduti da una virgola. Le derivate covarianti sono denotate dall'operatore \nabla_{i} o dall'esponente preceduto da un punto e virgola.

La determinante del tensore metrico è rappresentata da g (senza indici). Altri simboli del tensore scritti senza indici rappresentano la traccia del tensore corrispondente come \pi = g^{ij}\pi_{ij}.

Formulazione lagrangiana[modifica | modifica sorgente]

Il punto di partenza per la formulazione ADM è la lagrangiana

\mathcal{L} = {^{(4)}R} \sqrt{^{(4)}g}

la quale è un prodotto della determinante del tensore metrico quadridimensionale per lo spazio-tempo complessivo e il suo scalare di Ricci. Questa è la lagrangiana dell'azione di Einstein-Hilbert.

Il risultato desiderato della derivazione è quello di definire un'immersione di porzioni di spazio tridimensionale nello spazio-tempo quadridimensionale. La metrica delle sezioni tridimensionali

g_{ij} = {^{(4)}}g_{ij}

sarà le coordinate generalizzate per una formulazione hamiltoniana. I momenti coniugati possono dunque essere calcolati

\pi^{ij} = \sqrt{^{(4)}g} ( {^{(4)}}\Gamma^{0}_{pq} - g_{pq} {^{(4)}}\Gamma^{0}_{rs}g^{rs} ) g^{ip}g^{jq}

usando tecniche e definizioni. I simboli {^{(4)}}\Gamma^0_{ij} sono i simboli di Christoffel associati alla metrica dello spazio-tempo quadridimensionale complessivo. L'errore

N = ( -{^{(4)}g^{00}} ) ^{-1/2}

e il vettore di spostamento

N_{i} = {^{(4)}g_{0i}}

sono gli elementi che restano del tensore metrico quattro.

Avendo identificato le quantità per la formulazione, il prossimo passo è quello di riscrivere la lagrangiana in termini di queste variabili. La nuova espressione per la lagrangiana

\mathcal{L} = -g_{ij} \partial_{t} \pi^{ij} - NH - N_{i}P^{i} - 2 \partial_{i} ( \pi^{ij} N_{j} - \frac{1}{2} \pi N^{i} + \nabla^{i} N \sqrt{g} )

è in modo conveniente scritta in termini delle due nuove quantità

H = -\sqrt{g} [R + g^{-1}(\frac{1}{2} \pi^{2} - \pi^{ij}\pi_{ij} )]

e

P^{i} = -2 \pi^{ij}_{\ ;j}

che sono note rispettivamente come limite hamiltoniano e il limite del momento. Da notare anche che l'errore e lo spostamento appaiono nell'hamiltoniana come moltiplicatori di Lagrange.

Equazioni di moto[modifica | modifica sorgente]

Sebbene le variabili nella lagrangiana rappresentino il tensore metrico negli spazi tridimensionali immersi nello spazio-tempo quadridimensionale, è possibile e desirabile usare le solite procedure della meccanica lagrangiana per derivare le "equazioni di moto" che descrivono l'evoluzione del tempo sia della metrica g_{ij} che del suo momento coniugato \pi^{ij}. Il risultato

\partial_{t} g_{ij} = 2Ng^{-1/2} ( \pi_{ij} - \frac{1}{2} \pi g_{ij} ) + N_{i;j} + N_{j;i}

e

\partial_{t} \pi^{ij} = -N\sqrt{g} ( R^{ij} - \frac{1}{2} R g^{ij} ) + \frac{1}{2} Ng^{-1/2}g^{ij} ( \pi^{mn}\pi_{mn} - \frac{1}{2} \pi^{2} ) - 2Ng^{-1/2} ( \pi^{in}\pi_{n}^{\ j} - \frac{1}{2}\pi\pi^{ij} )
-\sqrt{g}(\nabla^{i}\nabla^{j}N -g^{ij}\nabla^{n}\nabla_{n}N) + \nabla_{n}( \pi^{ij}N^{n} ) - N^{i}_{\ ;n}\pi^{nj} - N^{j}_{\ ;n}\pi^{ni}

è un insieme non lineare di equazioni differenziali parziali.

Prendendo le variazioni rispetto all'errore e allo spostamento forniamo le equazioni di tensione

H = 0

e

P^{i} = 0

e l'errore e lo spostamento stessi possono essere liberamente specificati, in base al fatto che i sistemi di coordinate possono essere liberamente determinati sia nello spazio che nel tempo.

Applicazione nella gravità quantistica[modifica | modifica sorgente]

Usando la formulazione ADM, è possibile tentare di costruire una teoria quantistica della gravità, allo stesso modo in cui si costruisce l'equazione di Schrödinger corrispondente a una data hamiltoniana nella meccanica quantistica. Vale a dire, sostituire i momenti canonici \pi^{ij}(t,x^k) e le funzioni metriche spaziali per mezzo degli operatori differenziali funzionali lineari

 \hat{g}_{ij}(t,x^k) \to g_{ij}(t,x^k)
 \hat{\pi}^{ij}(t,x^k) \to -i \frac{\delta}{\delta g_{ij}(t,x^k)}

Più precisamente, la sostituzione delle variabili classiche tramite operatori è limitata dalle relazioni di commutazione. I "cappelli" (^) rappresentano gli operatori nella teoria quantisitca. Ciò porta all'equazione di Wheeler-deWitt.

Applicazione per le soluzioni numeriche delle equazioni di Einstein[modifica | modifica sorgente]

Ci sono relativamente poche soluzioni esatte per le equazioni di campo di Einstein. Per trovare altre soluzioni, vi è un campo attivo di studi noto come relatività numerica in cui vengono utilizzati supercomputer per trovare soluzioni approssimate per le equazioni. Al fine di realizzare tali soluzioni numericamente, la maggior parte dei ricercatori iniziano con una formulazione delle equazioni di Einstein strettamente correlata alla formulazione ADM. Gli approcci più comuni iniziano con un problema al valore iniziale basato sul formalismo ADM.

Nelle formulazioni hamiltoniane, il punto fondamentale è la sostituzione del sistema (set) di equazioni di secondo ordine con un altro sistema di primo ordine. Possiamo ottenere questo secondo sistema di equazioni per mezzo della formulazione hamiltoniana in un modo semplice. Naturalmente questo è molto utile per la fisica numerica, perché la riduzione dell'ordine di equazioni differenziali deve essere fatta, se vogliamo preparare le equazioni per il computer.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation
  2. ^ "Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity" Arnowitt, R., Deser, S., & Misner, C., The Physical Review, 116:1322-1330, 1959

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]