Teorema di Green

In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno ad una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a 2 dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

Il teorema

Sia C una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata regolare a tratti, e sia D la regione limitata da C. Se P e Q denotano due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene D, allora:

$\int_{C} (P dx + Q dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy$

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

$\oint_{C} (P dx + Q dy)$

Interpretazione

Se si considera un campo vettoriale F su $\mathbb R^2$ definito da:

$F(x,y) := \langle Q(x,y),-P(x,y)\rangle$

la quantità:

$\oint_{C} P dx + Q dy$

rappresenta l'integrale di $\mathbf F\cdot \mathbf n$, dove $\mathbf n$ è la normale esterna alla curva C in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta il flusso del campo F attraverso la curva C.

D'altra parte l'espressione:

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$

è il rotore di F. Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema ci dice che integrando il rotore nell'interno della curva si ottiene il flusso che attraversa la curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore.

Dimostrazione del teorema di Green quando D è una regione semplice

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

$\int_{C} P dx = \int\!\!\!\int_{D} \left(- \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$

$\int_{C} Q dy = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dA$

Se si esprime D come la regione:

$D := \{ (x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x) \}$

dove g₁ e g₂ sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

$\qquad \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left(\frac{\partial P}{\partial y} (x,y) dy dx \right) = \int_a^b [P(x,g_2(x)) - P(x,g_1(x))] dx$

Spezzando C nell'unione delle quattro curve C₁, C₂, C₃ e C₄, si verifica che:

• Per C₁ valgono le equazioni parametriche x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b, e quindi si ottiene:

$\int_{C_1} P(x,y) dx = \int_a^b [P(x,g_1(x))] dx$ .

• Per -C₃ si usano le equazioni parametriche x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b, e si ottiene:

$\int_{C_3} P(x,y) dx = -\int_{-C_3} P(x,y) dx = - \int_a^b [P(x,g_2(x))] dx$ .

• Con C₂ e C₄, x è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:

$\int_{C_4} P(x,y) dx = \int_{C_2} P(x,y) dx = 0$

Quindi:

$\int_{C} P dx = \int_{C_1} P(x,y) dx + \int_{C_2} P(x,y) dx + \int_{C_3} P(x,y) + \int_{C_4} P(x,y) dx$

$= - \int_a^b [P(x,g_2(x))] dx + \int_a^b [P(x,g_1(x))] dx$

Combinando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

$\int_{C} P(x,y) dx = \int\!\!\!\int_{D} \left(- \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$

La seconda relazione si dimostra in modo analogo.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Gradiente
• Divergenza
• Teorema della divergenza
• Rotore (matematica)
• Teorema di Stokes
• Teorema integrale di Cauchy

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