Teorema di Green

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bussola Disambiguazione – Questa voce riguarda il caso particolare del teorema di Stokes che collega gli integrali doppi e gli integrali di linea. Per i teoremi di Green riguardanti la relazione tra integrali di volume ed integrali di superficie per mezzo dell'operatore di Laplace, vedi Identità di Green

In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno ad una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a 2 dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia \partial S una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata regolare a tratti, e sia S la superficie di cui è frontiera. Se f e g sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene S, allora:[1]

\int_{\partial S} (f dx + g dy) = \int\!\!\!\int_{S}  \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial
y}\right) dx dy

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

\oint_{\partial S} (f dx + g dy)

Interpretazione[modifica | modifica wikitesto]

Se si considera un campo vettoriale \mathbf F su \mathbb R^2 definito da:

\mathbf F(x,y) := \langle f(x,y), g(x,y)\rangle

la quantità:

\oint_{\partial S} f dx + g dy

rappresenta l'integrale di \mathbf F \cdot \mathbf n, dove \mathbf n è la tangente esterna alla curva \partial S in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo \mathbf F lungo la curva \partial S.

D'altra parte l'espressione:

\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}

è il rotore di \mathbf F. Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema ci dice che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di \mathbb{R}^3.

Dimostrazione per superficie semplice[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi dominio semplice.

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

\int_{\partial S} f \operatorname dx = - \int\!\!\!\int_{S} \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname ds \qquad \int_{\partial S} g \operatorname dy = \int\!\!\!\int_{S} \frac{\partial g}{\partial x} \operatorname ds

Se si esprime S come la regione:

S := \{ (x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x) \}

dove g_1 e g_2 sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

\qquad \int\!\!\!\int_{S} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) ds = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left(\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) \operatorname dy \operatorname dx \right) = \int_a^b f(x,g_2(x)) - f(x,g_1(x)) \operatorname dx

Spezzando il bordo \partial S di S nell'unione delle quattro curve \partial S_1, \partial S_2, \partial S_3 e \partial S_4, si verifica che:

\int_{\partial S_1} f(x,y) \operatorname dx = \int_a^b f(x,g_1(x)) \operatorname dx .
\int_{\partial S_3} f(x,y) \operatorname dx = -\int_{-\partial S_3} f(x,y) \operatorname dx = - \int_a^b f(x,g_2(x)) \operatorname dx
  • Per \partial S_2 e \partial S_4 la variabile x è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:
 \int_{\partial S_4} f(x,y) \operatorname dx = \int_{\partial S_2} f(x,y) \operatorname dx = 0

e quindi:

\int_{\partial S} f \operatorname dx = \int_{\partial S_1} f(x,y) \operatorname dx + \int_{\partial S_2} f(x,y) \operatorname dx + \int_{\partial S_3} f(x,y) + \int_{\partial S_4} f(x,y) \operatorname dx =
 = - \int_a^b f(x,g_2(x)) \operatorname dx + \int_a^b f(x,g_1(x)) \operatorname dx

Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

\int_{\partial S} f(x,y) \operatorname dx = - \int\!\!\!\int_{S} \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname ds

e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.

Relazione con il teorema di Stokes[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Stokes.

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y. Si ponga di avere un campo vettoriale \mathbf{F} in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero \mathbf{F}=(L,M,0). Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:

\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):

\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS

dove la superficie S è la regione nel piano e \mathbf{\hat n} è il versore normale in direzione z. L'integrando diventa:

\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)

sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:

\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA

Relazione con il teorema della divergenza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della divergenza.

Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds

dove \mathbf{\hat n} è il versore normale uscente alla frontiera C di D. Infatti, dal momento che nel teorema di Green d\mathbf{r} = ( dx, dy) è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva C è orientata in senso antiorario, il vettore normale \mathbf{\hat n} è il vettore ( dy, -dx). La sua lunghezza è \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds, e quindi \mathbf{\hat n}\,ds = ( dy, -dx). Detto \mathbf{F} = ( P, Q), il membro alla destra diventa:

\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \oint_C P dy - Q dx

che con il teorema di Green assume la forma:

\oint_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA

L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Rudin, Pag. 288

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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