Teorema di Green

In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno ad una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a 2 dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

Il teorema

Sia $\partial S$ una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata regolare a tratti, e sia $S$ la superficie di cui è frontiera. Se $f$ e $g$ sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene $S$, allora:

$\int_{\partial S} (f \operatorname dx + g \operatorname dy) = \int\!\!\!\int_{S} \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) \operatorname dx \operatorname dy$

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

$\oint_{\partial S} (f \operatorname dx + g \operatorname dy)$

Interpretazione

Se si considera un campo vettoriale $\mathbf F$ su $\mathbb R^2$ definito da:

$\mathbf F(x,y) := \langle f(x,y), g(x,y)\rangle$

la quantità:

$\oint_{\partial S} f dx + g dy$

rappresenta l'integrale di $\mathbf F \cdot \mathbf n$, dove $\mathbf n$ è la normale esterna alla curva $\partial S$ in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo $\mathbf F$ lungo la curva $\partial S$.

D'altra parte l'espressione:

$\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$

è il rotore di $\mathbf F$. Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema ci dice che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di $\mathbb{R}^3$.

Dimostrazione per superficie semplice

Per approfondire, vedi dominio semplice.

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

$\int_{\partial S} f \operatorname dx = - \int\!\!\!\int_{S} \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname ds \qquad \int_{\partial S} g \operatorname dy = \int\!\!\!\int_{S} \frac{\partial g}{\partial x} \operatorname ds$

Se si esprime $S$ come la regione:

$S := \{ (x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x) \}$

dove $g_1$ e $g_2$ sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

$\qquad \int\!\!\!\int_{S} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) ds = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left(\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) \operatorname dy \operatorname dx \right) = \int_a^b f(x,g_2(x)) - f(x,g_1(x)) \operatorname dx$

Spezzando il bordo $\partial S$ di $S$ nell'unione delle quattro curve $\partial S_1$, $\partial S_2$, $\partial S_3$ e $\partial S_4$, si verifica che:

• Per $\partial S_1$ valgono le equazioni parametriche $x = x$, $y = g_1(x)$, $a \le x \le b$, e quindi si ottiene:

$\int_{\partial S_1} f(x,y) \operatorname dx = \int_a^b f(x,g_1(x)) \operatorname dx$ .

• Per $\partial S_3$ si usano le equazioni parametriche $x = x$, $y = g_2(x)$, $a \le x \le b$, e si ottiene:

$\int_{\partial S_3} f(x,y) \operatorname dx = -\int_{-\partial S_3} f(x,y) \operatorname dx = - \int_a^b f(x,g_2(x)) \operatorname dx$

• Per $\partial S_2$ e $\partial S_4$ la variabile $x$ è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:

$\int_{\partial S_4} f(x,y) \operatorname dx = \int_{\partial S_2} f(x,y) \operatorname dx = 0$

e quindi:

$\int_{\partial S} f \operatorname dx = \int_{\partial S_1} f(x,y) \operatorname dx + \int_{\partial S_2} f(x,y) \operatorname dx + \int_{\partial S_3} f(x,y) + \int_{\partial S_4} f(x,y) \operatorname dx =$

$= - \int_a^b f(x,g_2(x)) \operatorname dx + \int_a^b f(x,g_1(x)) \operatorname dx$

Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

$\int_{\partial S} f(x,y) \operatorname dx = - \int\!\!\!\int_{S} \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname ds$

e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.

Relazione con il teorema di Stokes

Per approfondire, vedi Teorema di Stokes.

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y. Si ponga di avere un campo vettoriale $\mathbf{F}$ in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero $\mathbf{F}=(L,M,0)$. Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:

$\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

e per il teorema di Kelvin–Stokes:

$\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS$

dove la superficie $S$ è la regione nel piano e $\mathbf{\hat n}$ è il versore normale in direzione z. L'integrando diventa:

$\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)$

sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:

$\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA$

Relazione con il teorema della divergenza

Per approfondire, vedi Teorema della divergenza.

Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:

$\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds$

dove $\mathbf{\hat n}$ è il versore normale uscente alla frontiera $C$ di $D$. Infatti, dal momento che nel teorema di Green $d\mathbf{r} = ( dx, dy)$ è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva $C$ è orientata in senso antiorario, il vettore normale $\mathbf{\hat n}$ è il vettore $( dy, -dx)$. La sua lunghezza è $\sqrt{dx^2 + dy^2} = ds$, e quindi $\mathbf{\hat n}\,ds = ( dy, -dx)$. Detto $\mathbf{F} = ( P, Q)$, il membro alla destra diventa:

$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \oint_C P dy - Q dx$

che con il teorema di Green assume la forma:

$\oint_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA$

L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Gradiente
• Divergenza
• Teorema della divergenza
• Rotore (matematica)
• Teorema di Stokes
• Teorema integrale di Cauchy

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