Onda piana

I fronti d'onda di un'onda piana

In fisica, un'onda piana è un'onda a frequenza costante i cui fronti d'onda sono infiniti piani paralleli di ampiezza costante normali al vettore d'onda.

Proprietà

L'onda piana rappresenta di fatto un'astrazione fisico-matematica non presente nella realtà fisica, per la cui generazione sarebbe infatti necessaria una sorgente di lunghezza infinita. Essa può essere utilizzata dunque come un'approssimazione ideale dell'onda reale (che ha una tendenza alla sfericità/circolarità nello spazio/piano) rappresentando il caso in cui la sorgente dell'onda è posta a distanza infinita dal punto di osservazione del fronte d'onda considerato, che diventa quindi localmente piano.

Altra caratteristica dell'onda piana rispetto a quella sferica/circolare è l'assenza di attenuazione isotropica nello spazio in virtù della direzionalità dell'emissione e della propagazione di energia associata all'onda, ma possiede solo un'attenuazione dovuta all'assorbimento da parte del materiale del mezzo di propagazione attraversato.

Equazione dell'onda piana

Le onde piane soddisfano l'equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, lineare ed omogenea di tipo iperbolico in una dimensione:

Propagazione di un'onda piana

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac {{\partial}^2 f}{{\partial t}^2}= 0$

che descrive la propagazione di una perturbazione generica, descritta da una funzione scalare arbitraria f = f(x,t) che si propaga con velocità v'.
Scritta nella forma:

$\left(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{v} \frac {{\partial}}{{\partial t}}\right)\left(\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{v} \frac {{\partial} }{{\partial t}}\right) f(x,t) = 0$

mostra che soluzione generale è la combinazione lineare di due soluzioni:

$f(x,t) = af_1 (x-vt) + bf_2 (x+vt)\$

con a e b costanti: si tratta di due perturbazioni che si propagano in direzioni opposte.
Assumendo che l'onda si propaghi nella direzione positiva delle x e che la fase ad un tempo fissato t è costante in ogni piano perpendicolare alla direzione di propagazione, si ottiene l'onda piana, una funzione armonica rispetto al tempo:

$f(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \$

dove i è l'unità immaginaria, k il vettore d'onda, ω la frequenza angolare e A l'ampiezza.
La soluzione fisica è data dalla parte reale dell'espressione:

$Re[f(x,t)] = |A| \cos (kx - \omega t + \arg A) \$

Le onde di questo tipo sono caratterizzate da una sola frequenza, e sono pertanto dette monocromatiche. Il principio di sovrapposizione afferma che ogni perturbazione può essere espressa come opportuna combinazione lineare di onde piane.
In tre dimensioni la notazione diventa:

$f(\vec r,t) = A(\vec r) \cdot \sin (\vec k \cdot \vec r - \omega t + \phi)$

che nella forma esponenziale diventa:

$f(\vec r,t) = A(\vec r) \cdot e^{i \cdot (\vec k \cdot \vec r - \omega t)}$

dove i è l'unità immaginaria.
L'onda ha un periodo T legato alla sua lunghezza d'onda λ (detta anche periodo spaziale) dalla:

$v = \frac{\lambda}{T}$ dove si ritrova la velocità di fase cioè la nostra velocità di propagazione dell'onda.

L'onda sinusoidale ha un periodo T legato alla sua lunghezza d'onda λ (detta anche periodo spaziale) dalla:

$v = \frac{\lambda}{T}$ dove si ritrova la velocità di fase cioè la nostra velocità di propagazione dell'onda.

Altre proprietà dell'onda sinusoidale sono:

$\nu = \frac {1}{T}$ la frequenza;

$\omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi}{T}$ la pulsazione;

$\ k = \frac{2\pi}{\lambda}$ il numero d'onda , cioè il modulo del vettore d'onda che rappresenta la direzione di propagazione della stessa.

Onda piana elettromagnetica

Le equazioni delle onde:

${\nabla}^2 \vec E - \varepsilon \mu \frac {{\partial}^2 \vec E}{{\partial t}^2}= 0$

$\,\,\,\,\, {\nabla}^2 \vec B - \varepsilon \mu \frac {{\partial}^2 \vec B}{{\partial t}^2} = 0$.

sono equazioni alle derivate parziali che per essere soluzioni delle equazioni di Maxwell devono soddisfare, se date, alle condizioni iniziali ovvero alle condizioni al contorno. Le condizioni al contorno che corrispondono ad un'onda piana sono quelle in cui la direzione di propagazione avviene in una sola dimensione (per esempio x), o più precisamente, quando i suoi fronti d'onda sono piani. In questo caso le derivate delle equazioni delle onde del campo elettrico e del magnetico sono nulle per le variabili y e z. Dunque ciascuna delle componenti dei campi soddisfano l'equazione di D'Alembert, dove:
$v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}$
è la velocità di propagazione dell'onda; dunque in generale come sovrapposizione di un'onda progressiva (-) e regressiva (+). Nel vuoto sappiamo essere
$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \simeq 2,99 \cdot 10^{8} [m/s]$
quindi in un dielettrico perfetto:

$v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}$

Il rapporto $n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}$ è detto indice di rifrazione del materiale dielettrico.

Vediamo cosa succede ai campi elettrico e magnetico dell'onda.

Dalla terza equazione e dalla quarta equazione (che descrivono l'onda) si ricavano le componenti dei campi:

$1) \ \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial B_x}{\partial t} = 0$

$2) \ \frac{\partial E_y}{\partial x} = - \frac{\partial B_z}{\partial t}$

$3) \ \frac{\partial E_z}{\partial x} = \frac{\partial B_y}{\partial t}$

$4) \ \frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{\partial E_x}{\partial t} = 0$

$5) \ \frac{\partial B_y}{\partial x} = \varepsilon \mu \frac{\partial E_z}{\partial t}$

$6) \ \frac{\partial B_z}{\partial x} = - \varepsilon \mu \frac{\partial E_y}{\partial t}$

Le 1) e la 4) ci dicono che la derivata parziale dei campi $\vec E \ , \vec B$ rispetto alla coordinata x e al tempo t, sono nulle: cioè i campi sono costanti nel tempo e uniformi nello spazio nella direzione di propagazione.

Le altre componenti ci dicono invece che le componenti del campo elettrico in y e z sono ortogonali alle componenti del campo magnetico rispettivamente in z e y. Ciò sta a significare che le componenti dei campi sono ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda e sono rispettivamente ortogonali. Quindi in totale le componenti dei campi elettrico e magnetico sono nulle nella direzione di propagazione e ortogonali ad essa e tra di loro.

Le onde possono quindi essere considerate costituite da componenti del campo che possiamo tranquillamente assumere in direzione degli assi come nel nostro caso: se una componente del campo elettrico sta sull'asse y allora una componente del campo magnetico sta sull'asse z e viceversa: in questo caso si dice che l'onda ha polarizzazione piana.

Valgono infine le relazioni ormai chiare:

$\frac{E_y}{B_z} = \frac{E_z}{B_y} = \pm v$

$\vec E = \vec B \times \vec v$

$\frac {E}{B} = v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}$

Quest'ultima viene espressa anche in termini di campo elettrico e campo magnetizzante $\vec E \ , \vec H$:

$\frac {E}{H} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}= Z$

dove Z ha le dimensioni di una impedenza detta impedenza caratteristica del materiale dielettrico. Nel vuoto questa ha valore Z = 377 Ω.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo magnetico
• Equazioni di Maxwell
• Legge di Ampere
• Legge di Gauss
• Onda
• Onde elettromagnetiche
• Onda monocromatica
• Onda sferica
• Onda stazionaria
• Onda di pressione
• Vettore di Poynting

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