Onda sferica

In fisica un'onda è sferica se il suo fronte d'onda è una sfera. Ciò vuol dire che un'onda sferica è tale quando la sorgente dell'onda è puntiforme in modo che il fronte d'onda si propaghi in proporzione alla distanza r dalla sorgente. Naturalmente poiché per quanto piccola, una sorgente non è mai puntiforme al finito, anche questo modello è soggetto ad approssimazione fisica. In generale un'onda sferica è rappresentabile allo stesso modo di un'onda piana. La forma:

$\zeta (\vec r,t)$

soddisfa la stessa equazione delle onde di un'onda piana e di un'onda monocromatica, infatti derivando due volte rispetto ad x:

$\frac{\partial \zeta(\vec r,t)}{\partial x} = \frac{\partial \zeta}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x}$

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} \cdot \left(\frac{\partial r}{\partial x} \right)^2 + \frac{\partial \zeta}{\partial r} \cdot \frac{\partial^2 r}{\partial x^2}$

Poiché $r = \left(x^2 + y^2 + z^2 \right)^{1/2}$ allora le derivate parziali di sopra diventano:

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} = \frac{1}{r} \left(1- \frac{x^2}{r^2} \right)$

in definitiva si ottiene:

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial x^2} = \frac{x^2}{r^2} \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \left(1 - \frac{x^2}{r^2} \right) \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r}$

Allo stesso modo nelle altre variabili:

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial y^2} = \frac{y^2}{r^2} \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \left(1 - \frac{y^2}{r^2} \right) \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r}$

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial z^2} = \frac{z^2}{r^2} \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \left(1 - \frac{z^2}{r^2} \right) \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r}$

Sommiamo membro a membro:

$\nabla^2 \zeta(\vec r,t) = \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \zeta)}{\partial r^2}$

riottenendo l'equazione di D'Alembert nella variabile $r \zeta(r,t)$:

$\frac{\partial^2 (r \zeta)}{\partial r^2} - \frac{1}{v^2} \cdot \frac{\partial^2 (r \zeta)}{\partial t^2}=0$

la cui soluzione è ancora della forma:

$r \zeta (r,t) = f(r- \vec v t) \rightarrow \zeta (r,t) = \frac{f(r- \vec v t)}{r}$

Onda sferica elettromagnetica

Le equazioni delle onde:

${\nabla}^2 \vec E - \epsilon \mu \frac {{\partial}^2 \vec E}{{\partial t}^2}= 0$

$\,\,\,\,\, {\nabla}^2 \vec B - \epsilon \mu \frac {{\partial}^2 \vec B}{{\partial t}^2} = 0$.

sono equazioni alle derivate parziali che se vogliamo soddisfino le equazioni di Maxwell dobbiamo imporre le condizioni iniziali o le condizioni al contorno. Le condizioni al contorno che corrispondono ad una onda sferica sono quelle in cui i suoi fronti d'onda sono sfere. In questo caso le derivate delle equazioni delle onde del campo elettrico e del magnetico possono essere espresse in termini di coordinate sferiche ponendo uguali a zero le derivate rispetto a $\theta$ e a $\phi$. Dunque, tenendo conto della simmetria sferica nello spazio, la nostra equazione delle onde è del tipo:

$\nabla^2 \psi = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \psi)}{\partial r^2}$

la cui soluzione generale è della forma:

$\psi(r,t) = \frac {f(t-r/c)}{r}$

dove c è la velocità della luce, che nel vuoto vale $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \simeq 2,99 \cdot 10^{8} m/s$.

Il tipico esempio di onda sferica è quello in cui la sorgente, situata nell'origine, è una distribuzione di carica che può essere pensata puntiforme: $Q(t)$. Cerchiamo una soluzione del tipo:

$\psi(\vec r , t) = V(r,t) = \frac{Q(t - r/c)}{4 \pi \epsilon_0 \cdot r}$

questa deve valere ovunque eccetto che nel punto sorgente.

Attenuazione

Le onde sferiche sono soggette alla cosiddetta attenuazione isotropica ovvero al fatto che l'energia dell'onda generata in un punto si dissipa in maniera isotropa nello spazio fisico distribuendosi sulle superfici dei fronti d'onda sferici ovvero di area pari a $4{\pi}R^2$ attenuandosi quindi con il quadrato della distanza dall'origine. Se l'onda attraversa un mezzo fisico diverso dal vuoto all'attenuazione isotropica si aggiunge un'attenuazione specifica dovuta al mezzo di propagazione stesso e compresa all'interno di un fattore esponenziale negativo con la distanza: parte dell'energia viene dunque trasferita alle particelle del mezzo stesso.

Esempi

Sono onde sferiche ad esempio le onde sismiche quando queste si propagano dall'ipocentro all'epicentro, le onde sonore prodotte da un sorgente omnidirezionale volumetrica piccola nello spazio come una detonazione. Se un'onda sferica raggiunge una superficie, essa produce sulla superficie un'onda circolare.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo magnetico
• Equazioni di Maxwell
• Legge di Ampere
• Legge di Gauss
• Onda
• Onde elettromagnetiche
• Onda monocromatica
• Onda piana
• Onda stazionaria
• Onda di pressione
• Vettore di Poynting

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