Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni

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In matematica, in particolare nel calcolo delle variazioni, il Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni è un lemma che consente di trasformare un problema di variazioni dalla forma debole (variazionale) alla forma forte (differenziale), al fine di poter applicare tutti gli strumenti matematici del calcolo differenziale al problema.

Un importante esempio di applicazione del lemma è la derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio variazionale di Hamilton.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia f(x) una funzione di classe C^0 in un intervallo (x_1,x_2) tale che

\int_{x_1}^{x_2}f(x)h(x)dx=0

per ogni funzione h(x)\in C^1(x_1,x_2) tale che h(x_1)=h(x_2)=0. Allora f(x)\equiv0, ovvero f è identicamente nulla in (x_1,x_2).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che esista x_0 per cui f(x_0)>0. Allora, essendo f continua, per il teorema di permanenza del segno esiste un intorno di x_0 in cui f(x)>0, ovvero esiste \tau>0 tale che f(x)>0 per ogni x tale che |x-x_0|<\tau. Sia allora

h(x)=\begin{cases}(x-x_0-\tau)^2(x-x_0+\tau)^2 & |x-x_0|<\tau \\ 0 & \mbox{altrove}\end{cases}

che è evidentemente continua e derivabile in (x_1,x_2). Abbiamo che

\int_{x_1}^{x_2}f(x)h(x)dx=\int_{x_0-\tau}^{x_0+\tau}f(x)(x-x_0-\tau)^2(x-x_0+\tau)^2dx > 0

in contraddizione con l'ipotesi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]