Piano inclinato

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Il piano inclinato è un semplice sistema fisico studiato sin dal medievo. I contributi più importanti alla sua comprensione sono venuti da Giordano Nemorario e Galileo Galilei.

È la macchina più semplice: un piano ben levigato, per far sì che l'attrito sia trascurabile, che forma con l'orizzontale un angolo θ. Lungo tale piano si fa quindi scivolare un corpo, generalmente sferico, anch'esso ben levigato, e quindi effettuando misurazioni a vari angoli e con varie masse, si riesce a determinare il valore dell'accelerazione di gravità, ovvero quella grandezza che regola il moto dei corpi verso il centro della Terra. Il valore trovato da Galileo risulta di poco inferiore a quello oggi noto (9,80665 m/s²), a causa di errori sistematici dovuti all'attrito, che non poteva essere completamente eliminato.

Altra importante scoperta fatta da Galilei con gli esperimenti sul piano inclinato è la legge di conservazione dell'energia: notò infatti che il moto (in particolare la velocità) della sfera lungo il piano è indipendente dalla massa della sfera stessa. Questo risultato è stato ripetuto con l'esperimento della caduta dei gravi, che ha verificato come tutti i corpi cadano con la stessa velocità, laddove è trascurabile la resistenza opposta dal mezzo (l'aria).

Già nel XIII secolo Giordano Nemorario, nel suo De ratione ponderis, stabilì che l'accelerazione con cui il corpo percorre il piano inclinato aumenta all'aumentare dell'angolo di inclinazione. Con linguaggio moderno, essa è proporzionale al seno dell'angolo di inclinazione, essendo dovuta alla componente del peso parallela al piano stesso:

a = gsinθ

Ora, detto v il valore della velocità della sfera lungo il piano inclinato, la velocità parallela al piano orizzontale sarà data da

vcosθ

mentre quella perpendicolare, che è poi quella utile alla determinazione della gravità, risulta

vsinθ

Ora, volendo calcolare la velocità in fondo al piano inclinato, per la conservazione dell'energia meccanica, l'energia posseduta dal corpo in fondo al piano sarà tutta energia cinetica, da cui si ricava che la velocità in fondo è:

Dove Ek è l'energia cinetica e m la massa

Per il teorema dell'energia cinetica sappiamo che il lavoro compiuto da un corpo, è uguale alla variazione dell'eneriga cinetica, pertanto, per qualsiasi valore di Ek, possiamo attribuire un lavoro compiuto che, per definizione è:

Essendo quindi la massa:

Otteniamo:

dove l è la lunghezza del piano e g il valore dell'accelerazione gravitazionale.

[modifica] In presenza di attrito

Nel caso in cui l'attrito non sia trascurabile, l'accelerazione può essere calcolata tenendo conto della componente perpendicolare al piano inclinato. Essa, infatti, è responsabile della presenza dell'attrito, quindi:

a_a = μgcosθ

dove μ è il coefficiente d'attrito statico.

Se ora si sommano tutte le accelerazioni, ovvero quella dovuta al peso del corpo e quella dovuta all'attrito, si ottiene l'accelerazione risultante:

a = g(sinθ − μcosθ)

In condizioni di equilibrio, l'accelerazione risultante è nulla, pertanto:

È così possibile sfruttare un piano inclinato per determinare il coefficiente d'attrito tra corpo e piano, semplicemente misurando l'angolo oltre il quale il corpo inizia a scendere lungo di esso.

[modifica] Altri significati del termine

Nella tecnologia dei trasporti il piano inclinato identifica una funicolare per il solo trasporto di merci.