Momento meccanico

Relazione tra la forza F, il momento meccanico τ, la quantità di moto p, e il momento angolare L in un sistema vincolato a ruotare in un piano (non sono considerate forza e momento meccanico gravitàzionali e l'attrito).

Il momento meccanico, indicato con $\mathbf{M}$ o anche in ambito anglosassone con $\boldsymbol{\tau}$, è la tendenza di una forza a imprimere una rotazione in un oggetto attorno ad un punto o ad un asse. Si tratta in particolare del momento vettoriale della forza.

L'unità di misura del momento meccanico nel SI è Nm (newton per metro), non il joule in quanto non è omogeneo ad un'energia trattandosi di un vettore e non di uno scalare.

L'analisi dei momenti meccanici è importante per determinare la condizione di equilibrio dei corpi estesi, nonché per lo studio dei moti rotazionali.

Esiste inoltre un'importante legge di conservazione che stabilisce che, se il momento della risultante delle forze agenti su un sistema è nullo, il momento angolare di tale sistema si conserva. Questo deriva dal teorema del momento angolare, per cui:

$\frac{d}{dt} \mathbf L = \mathbf M$

dove L è il vettore momento angolare, e M il momento della risultante (delle forze), e avendo assicurato che il polo rispetto a cui si calcola il momento sia fermo o si muova parallelamente al centro di massa del sistema.

Momento meccanico polare

Il momento meccanico M rispetto al polo O

Il momento meccanico polare rispetto ad un determinato punto Ω detto anche polo o centro di riduzione è definito in meccanica newtoniana come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (rispetto alla stessa origine) e la forza:

$\mathbf M_{\Omega} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \mathbf r \times \mathbf F$

Il modulo di M è quindi definito da

$M = r F \, \mathrm{sen} \, \vartheta \, = F \, b$

La direzione di M è perpendicolare al piano definito da F e da r; il verso, come garantito dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare F in senso antiorario. La grandezza rsenθ, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace F, è detta braccio b della forza F.

Se F ed r sono tra loro perpendicolari, il braccio (vedi leva) si identifica con r, e il momento è massimo. Il momento può essere nullo se la forza o il braccio sono nulli, oppure se F è parallela a r.

Se il sistema è composto di più componenti puntiformi, allora il momento meccanico totale è definito dalla somma dei singoli momenti meccanici:

$\mathbf M = \sum_i m_i \, \mathbf r_{i} \times \mathbf a_i \;.$

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità ρ e il campo di accelerazioni $\mathbf a ( \mathbf r )$:

$\mathbf M = \int \rho(\mathbf r) \, \mathbf r \times \mathbf a ( \mathbf r ) \mathrm{d}V\;.$

Momento meccanico assiale

Il momento meccanico causato dalle due forze opposte F_g e −F_g causa una variazione del momento angolare L nella direzione 55. Questo induce nella cima una precessione.

Si definisce momento meccanico assiale di una forza rispetto ad un asse a passante per un punto O, il vettore:

$\mathbf M_a \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} ((\mathbf r \times \mathbf F) \cdot \hat a) \hat a$

dove $\mathbf a$ è un vettore di lunghezza unitaria (versore) che identifica l'asse. Il modulo sarà:

$M_a = |\mathbf M_\Omega| \cdot \cos \phi = r F \, \mathrm{sen} \, \vartheta \cos \phi = F b \cos \phi$

dove φ è l'angolo formato dal vettore momento polare M_Ω con l'asse a. In pratica è la proiezione ortogonale del momento polare sull'asse a. Per questo il momento assiale è nullo se l'angolo φ = π/2 e massimo quando l'asse a coincide con l'asse di M_Ω, in tal caso infatti: φ = 0.

Risultante

Il teorema di Varignon si applica al momento meccanico: il risultante dei momenti meccanici applicati in uno stesso punto nel caso polare o anche solo ugualmente distanti dallo stesso asse nel caso assiale, corrisponde al momento meccanico della risultante:

$M = \sum_{n = 1}^N \mathbf M_n = \sum_{n = 1}^N (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_n) = \mathbf{r}\times \sum_{n = 1}^N \mathbf{F}_n = \mathbf{r}\times \mathbf{F}$

Ciò risulta di particolare utilità nelle equazioni di Eulero.

Momento angolare

Il momento meccanico è una variazione del momento angolare attorno allo stesso centro o asse del primo. Infatti da:

$\frac{d \mathbf r}{dt} \times \mathbf p = m \mathbf v \times \mathbf v = \mathbf 0,$

dove p è la quantità di moto, e v è la velocità del punto di applicazione, segue che:

$\mathbf M = \mathbf r \times \mathbf F = \mathbf r \times \frac{d \mathbf p}{dt} = \mathbf r \times \frac{d \mathbf p}{dt} + \frac{d \mathbf r}{dt} \times \mathbf p = \frac{d \mathbf (r \times \mathbf p)}{dt} = \frac{d \mathbf l}{dt}$

dove l è il momento angolare del punto.

Tensore d'inerzia

Poiché il momento angolare risulta proporzionale alla velocità angolare ω attraverso il tensore d'inerzia:

$\mathbf l = \mathbf I \cdot \mathbf \omega$

Il momento meccanico risulta in generale, attraverso la relazione dimostrata nel precedente paragrafo, e detta α l'accelerazione angolare:

$\mathbf M = \frac{d \mathbf l}{dt} = \frac{d \mathbf \mathbf I \cdot \mathbf \omega}{dt} = \mathbf I \cdot \frac{d \mathbf \omega}{dt} + \frac{d \mathbf I}{dt} \cdot \omega = \mathbf I \cdot \mathbf \alpha + (\mathbf \omega \times \mathbf I) \cdot \omega$

Quest'ultima uguaglianza è valida secondo la relazione di Poisson: il prodotto vettoriale del prodotto triplo può essere convertito in prodotto ordinario servendosi della matrice antisimmetrica della velocità angolare, definita per esempio in uno spazio tridimensionale come:

$\mathbf E_{\mathbf \omega} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & - \omega_y\\ \omega_z & 0 & - \omega_x \\ \omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}$

Risulta quindi che:

$\mathbf M = \mathbf I \cdot \mathbf \alpha + \mathbf E_{\mathbf \omega} \cdot \mathbf I \cdot \omega$

Si nota allora che il momento meccanico ha in generale due componenti, una a velocità angolare nulla, l'altra ad accelerazione angolare nulla:

$\mathbf M|_{\omega = 0} = \mathbf I \cdot \mathbf \alpha$

$\mathbf M|_{\alpha = 0} = \mathbf E_{\mathbf \omega} \cdot \mathbf I \cdot \omega$

$\mathbf M = \mathbf M|_{\omega = 0} + \mathbf M|_{\alpha = 0}$

Come esempio notevole si consideri un corpo è vincolato ad un asse fisso baricentrico in un riferimento in cui è inclinato come l'asse z, come per esempio una manovella:

$\mathbf \omega = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix}$

M risulta in generale:

$\mathbf M = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & - I_{xz}\\ - I_{xy} & I_{yy} & - I_{yz} \\ - I_{xz} & - I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot \omega \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\omega & 0\\ \omega & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & - I_{xz}\\ - I_{xy} & I_{yy} & - I_{yz} \\ - I_{xz} & - I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - I_{xz} \dot \omega + I_{yz} \omega^2\\ - I_{yz} \dot \omega - I_{xz} \omega^2\\ I_{zz} \dot \omega \end{bmatrix}$

Lavoro rotazionale

Il lavoro rotazionale, compiuto dal momento meccanico risulta essere:

$W = \int_{r_1}^{r_2} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{r_1}^{r_2} \mathbf{F} \cdot (\mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{\theta})$$= \int_{\theta_1}^{\theta_2} (\mathbf{F} \times \mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \mathbf{M} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\theta},$

Come nel caso traslazionale, è possibile quindi per un momento compiere anche lavoro negativo (nel caso si opponga allo spostamento angolare reale), o nullo (nel caso sia normale allo spostamento angolare reale). Si notano quindi le analogie forti con il lavoro traslazionale, che permetteranno l'unificazione lagrangiana di forza generalizzata.

Energia potenziale rotazionale

Un momento meccanico, analogamente ad una forza, può essere conservativo ed ammettere quindi un'energia potenziale in base al lemma di Poincaré:

$\nabla_\theta \times \mathbf M = 0 \rightarrow \mathbf M = \nabla_\theta U,$ dove $\nabla_\theta = (\frac {\partial}{\partial \theta}, \frac {\partial}{\partial \phi}, \frac {\partial}{\partial \psi})$

In tal caso essa risulta per un sistema ad un grado di libertà angolare:

$U(\theta)=-\int_{\theta_0}^\theta M(\xi )\mathrm{d}\xi + U(\theta_0),$

Il valore dell'energia potenziale in θ₀ è definito arbitrariamente dal punto di vista matematico; si impone solitamente una condizione al contorno di Dirichlet, a non è applicabile la condizione di località dato che in generale l'energia potenziale rotazionale risulta sempre periodica nelle sue variabili angolari con periodo massimo 2π.

Infine nel caso più generale coi tre gradi di libertà rotazionali:

$U(\theta,\phi,\psi)=-\int_0^\theta \mathbf M(\tau, 0, 0)\cdot \mathbf e_1 d\tau -\int_0^\phi \mathbf M(\theta, \tau, 0) \cdot \mathbf e_2 d\tau -\int_0^\psi\mathbf M(\theta,\phi,\tau)\cdot \mathbf e_3 d\tau + cost$

Potenza rotazionale

La potenza rotazionale, posseduta dal momento meccanico risulta essere:

$P_\theta = \frac {\mathrm dW}{\mathrm dt} = \frac {\mathbf{M} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}}{\mathrm dt} = \mathbf{M} \cdot \boldsymbol{\omega},$

dove ω è la velocità angolare del punto.

Statica delle strutture

Rispetto ad una trave fissa un momento in generale è scomponibile in una componente normale ad essa, detto momento flettente, ed in una parte a lei parallela, detta momento torcente.

In particolare risulta che una struttura planare su cui agiscano forze complanari ad essa tutti i momenti sono di tipo flettente.

Voci correlate

• Momento (fisica)
• Coppia motrice
• Momento flettente
• Momento torcente
• Momento angolare
• Momento meccanico magnetico
• Momento meccanico del dipolo elettrico

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