Simplettomorfismo

In matematica, un simplettomorfismo è un isomorfismo della categoria delle varietà simplettiche.

Definizione formale

Siano (M₁, ω₁) e (M₂, ω₂) varietà simplettiche. Una mappa

$f\colon M_{1}\to M_{2}$

si dice simplettomorfismo se è un diffeomorfismo e il pull-back di ω₂ rispetto a f è uguale a ω₁:

$f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}.$

Esempi di simplettomorfismi includono le trasformazioni canoniche in meccanica classica e fisica teorica, i flussi associati alle funzioni hamiltoniane, le mappe indotte da ogni diffeomorfismo tra varietà sul fibrato cotangente, e l'azione coaggiunta di un elemento di un Gruppo di Lie su una orbita coaggiunta.

Esempi

• Le traslazioni in $\mathbb {R} ^{n}$ sono simplettomorfismi.

Flussi

Qualunque funzione su una varietà simplettica dà luogo, per definizione, a un campo vettoriale hamiltoniano: l'insieme dei quali forma una sottoalgebra dell'algebra di Lie dei campi vettoriali simplettici. L'integrazione del flusso di un campo vettoriale simplettico è un simplettomorfismo. Poiché i simplettomorfismi preservano la 2-forma simplettica e quindi la forma volume simplettica, ne consegue il teorema di Liouville della meccanica hamiltoniana. I simplettomorfismi che derivano da campi vettoriali hamiltoniani sono detti simplettomorfismi hamiltoniani.

Poiché

$\{H,H\}=X_{H}(H)=0$

il flusso di un campo vettoriale hamiltoniano preserva anche H. In fisica questo è interpretato come legge di conservazione dell'energia.

Se il primo numero di Betti di una varietà simplettica compatta è zero, l'insieme dei campi vettoriali hamiltoniani coincide con quello dei campi vettoriali simplettici.

Il gruppo dei simplettomorfismi (hamiltoniani)

I simplettomorfismi da una varietà in se stessa formano uno pseudogruppo infinito-dimensionale. La corrispondente algebra di Lie è generata dai campi vettoriali simplettici. I simplettomorfismi hamiltoniani formano un sottogruppo, la cui algebra di Lie è data dai campi vettoriali hamiltoniani. Quest'ultima è isomorfa all'algebra delle funzioni lisce sulla varietà rispetto alle parentesi di Poisson, modulo le funzioni costanti.

I gruppi dei diffeomorfismi hamiltoniani sono gruppi di Lie semplici, in virtù di un teorema di Augustin Banyaga.

Confronto con la geometria riemanniana

A differenza delle varietà riemanniane, quelle simplettiche non sono molto rigide: il teorema di Darboux mostra che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe. Al contrario, le isometrie della geometria riemanniana devono preservare il tensore di Riemann, che è perciò un invariante locale della varietà riemanniana. Inoltre, ogni funzione H su una varietà simplettica definisce un campo vettoriale hamiltoniano X_H, che genera tramite la mappa esponenziale un sottogruppo a un parametro del gruppo dei simplettomorfismi. Segue che il gruppo dei simplettomofismi è sempre molto grande, e, in particolare, infinito-dimensionale. Il gruppo delle isometrie di una varietà riemanniana, invece, è sempre un gruppo di Lie finito-dimensionale. Inoltre, le varietà riemanniane con grandi gruppi di simmetria sono casi molto particolari, e una generica varietà riemanniana non possiede alcuna simmetria.

Congettura di Arnold

Una celebre congettura di V. I. Arnold mette in relazione il numero minimo di punti fissi per un simplettomorfismo hamiltoniano f su M, nel caso in cui M sia una varietà chiusa, con la Morse theory. Più precisamente, la congettura asserisce che f ha un numero di punti fissi pari almeno al numero di punti critici che una funzione liscia su M deve avere (nel caso generico, una funzione di Morse, per la quale esiste un numero finito definito pari almeno a 2).

È risaputo che questo seguirebbe dalla congettura di Arnold-Givental (da V.I Arnold e Alexander Givental), la quale riguarda le sottovarietà lagrangiane.

Bibliografia

• Dusa McDuff e D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Ralph Abraham e Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X Vedi la sezione 3.2.

gruppi dei simplettomorfismi:

• Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307—347.
• Polterovich, Leonid. The geometry of the group of symplectic diffeomorphism. Basel ; Boston : Birkhauser Verlag, 2001.