Varietà simplettica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere \omega, definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Una qualsiasi funzione differenziabile, H, a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una forma simplettica su una varietà M è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, \omega. La coppia (M,\omega) si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base Xi dello spazio tangente di M in un punto, la matrice

\Omega_{ij}=\omega(X_i,X_j)

è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di \omega chiusa significa che

d\omega = 0

dove d è la derivata esterna.

Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti \Omega è antisimmetrica, i.e., \Omega_{ij}=-\Omega_{ji}, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).

Sistema di coordinate canonico[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una varietà simplettica (M,\omega) con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione x^i dove i=1,\cdots,2n.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una carta x^i si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che

\omega=\sum_{i=1}^{n}dx^i\wedge dx^{n+i}

spesso per il sc canonico si usa la notazione classica ponendo x^i=q^i e p_i=x^{n+i} con i=1,\cdots,n cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)

\Omega=dq^i\wedge dp_i.

Teorema di Darboux[modifica | modifica wikitesto]

Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.

Varietà simplettica lineare[modifica | modifica wikitesto]

La varietà simplettica standard è R2n, siano x^i i=1,\cdots,2n le coordinate cartesiane su \mathbb{R}^{2n}, con la forma simplettica data da

\omega=\sum_{i=1}^{n}dx^i\wedge dx^{n+i}

in forma matriciale

\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}

Questa particolare struttura simplettica è importante perché il Teorema di Darboux ci dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.

Forma volume simplettico[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà simplettica (M, \omega) possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da \omega la

\Xi_{\omega}\equiv\xi:=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{n!}\wedge^n\omega

Utilizzando un sc canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto

\xi:=dq^1\wedge\cdots\wedge dq^n\wedge dp_1\wedge\cdots\wedge dp_n.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  1. Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche \xi porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di M.
  2. La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di M. Definita
|\mathcal{B}|=\int_{(q,p)(\mathcal{B})}dq^1\cdots dq^ndp_1\cdots dp_n

dove \mathcal{B} è un borelliano di M e si è usato il sc canonico.

Gradienti simplettici[modifica | modifica wikitesto]

Sia (M,\omega) una varietà simplettica e h una funzione scalare su M.

Chiamiamo gradiente simplettico di h il campo vettoriale X su M definito come l'unico campo vettoriale tale che

\omega(X,\cdot)=dh

dh è il differenziale di h.

Sistema hamiltoniano[modifica | modifica wikitesto]

Notiamo che

\omega(X,\cdot):TM\to T^*M

è biettiva per via della nondegenerazione di \omega allora è possibile definire un'applicazione inversa

I:T^*M\to TM

che prende il nome di tensore di Poisson tale che

\omega(I\alpha,\cdot)=\alpha

dove \alpha\in T^*M.

Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come X=Idh che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana h.

La terna (M,\omega,h) si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica (M,\omega) si definisce anche spazio delle fasi.

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica