Spazio vettoriale simplettico

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In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale V di dimensione pari dotato di una funzione

\omega:V \times V \to \R

tale che, per ogni v, v', w, w' in V e per ogni \lambda, \mu in \R

\omega(\lambda v+ \mu v',w)=\lambda \omega(v,w)+\mu \omega(v',w)
\omega(v,\lambda w + \mu w')=\lambda \omega (v,w) + \mu \omega (v,w')
\omega(v,v)=0
\omega(v,w)=0 per ogni w implica v=0

In altre parole, \omega è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio V munito della forma \Omega si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, \omega si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.

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