Spazio vettoriale simplettico

In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione pari dotato di una funzione

$\omega:V \times V \to \R$

tale che, per ogni $v, v', w, w'$ in $V$ e per ogni $\lambda, \mu$ in $\R$

$\omega(\lambda v+ \mu v',w)=\lambda \omega(v,w)+\mu \omega(v',w)$

$\omega(v,\lambda w + \mu w')=\lambda \omega (v,w) + \mu \omega (v,w')$

$\omega(v,v)=0$

$\omega(v,w)=0$ per ogni $w$ implica $v=0$

In altre parole, $\omega$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio $V$ munito della forma $\Omega$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.

Bibliografia

• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
• Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

Voci correlate

• Matrice simplettica
• Gruppo simplettico
• Matrice anti-hamiltoniana

Collegamenti esterni

• Introduzione alla geometria simplettica
• Strutture di Poisson e strutture complesse

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