Quantificatore

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Nella logica i quantificatori sono espressioni come "qualcosa" (quantificatore esistenziale) e "ogni cosa" (quantificatore universale) e le loro controparti simboliche:

  • (esiste almeno un)
  • (per ogni)

il nome "quantificatori" è legato al fatto che danno una informazione su quanto è grande l'estensione in cui è valido un predicato.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Fin dalle origini la logica si è sempre occupata del meccanismo della quantificazione[1], e la mancanza di una sua analisi che fosse completa ne ha causato il ristagno per interi millenni, fino all'anno 1879 in cui il famoso matematico ottocentesco Frege lo espose come una funzione di livello superiore (cioè avente per argomento una funzione di livello inferiore). Frege fu il padre della logica formale e della logica matematica; e vinse la sfida di esprimere nel linguaggio formale parole come tutti e esiste (presenti in proposizioni come "Tutti gli uomini sono mortali" o "Esiste almeno un filosofo greco") che sembravano impossibili da esprimere.

Nonostante l'idea di quantificatore sia dunque da attribuire a Frege, furono Peirce e Peano ad ideare i simboli e , oggi senz'altro più usati del vecchio segno bidimensionale introdotto dall'inventore del XIX secolo per il quantificatore universale (da cui il quantificatore esistenziale si ottiene negandolo; ragion per cui anche oggi molti linguaggio formali sono costruiti usando un solo quantificatore e la negazione per esprimere l'altro) e mai più adoperato in seguito per l'evidente ingombranza.

Relazioni con i connettivi logici[modifica | modifica sorgente]

I quantificatori universale ed esistenziale opportunamente combinati con il connettivo logico di negazione possono svolgere l'uno la funzione dell'altro. L'affermazione "è falso che ogni numero è pari" si può anche esprimere dicendo che "esiste un numero che non è pari". Nel linguaggio formale questo si può tradurre dicendo che

\neg(\forall x P(x))

è equivalente a

\exist x \neg P(x)

e questo vale per qualunque scelta di P.

Analogamente l'affermazione "non esiste un numero pari" è equivalente all'affermazione "ogni numero non è pari", formalmente possiamo dire che

\neg(\exist x P(x))

è equivalente a

\forall x \neg P(x).

Esistenza e unicità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Unicità.

In matematica si usa l'espressione simbolica

\exist! x ...

per abbreviare l'espressione "esiste un unico x...".

Formalmente l'espressione \exist ! x P(x) si può esprimere (per non dover inserire una nuova notazione tra i simboli della sintassi del linguaggio) facendo ricorso soltanto ai connettivi standard, ai quantificatori e alla relazione di uguaglianza nel seguente modo:

\exist x (P(x)\land\forall y(P(y)\to (y=x))).

Si può anche esprimere più brevemente facendo ricorso ad un connettivo bicondizionale (presente tra i cinque connettivi standard):

\exists x\,\forall y\,(P(y) \leftrightarrow x = y).

Quantificatori annidati[modifica | modifica sorgente]

Combinando quantificatori di tipo diverso si possono ottenere frasi di complessità sempre maggiore per cui occorre molta cautela. Un'espressione del tipo

\forall x \exist y P(x,y)

non è equivalente a

\exist y \forall x P(x,y)

per rendersene conto basta pensare a frasi come

"per ogni numero x esiste un numero y più grande di x"

e

"esiste un numero y che è più grande di ogni numero x"

la prima afferma che per ogni numero se ne può sempre trovare uno più grande, la seconda afferma che esiste un numero più grande di qualsiasi altro.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Così Aristotele definisce la chiusura universale: «Diciamo ‘si predica di ogni’ quando non è possibile trovare qualcosa che fa parte del sostrato di cui l'altro termine non si dica. Lo stesso vale per ‘si predica di nessuno’ [ossia quando non è possibile trovare qualcosa che fa parte del sostrato di cui l'altro si dica]»[24b28-30]. Dopodiché Aristotele non definisce la chiusura esistenziale, ma essa può essere considerata come il valere della negazione della chiusura universale (che insieme costituiscono i due elementi di una coppia antifatica, cioè di proposizioni contraddittorie), perciò "diciamo ‘si predica di qualche’ se è possibile trovare qualcosa che fa parte del sostrato di cui l'altro termine si dica e diciamo ‘di qualche non si predica’ se è possibile qualcosa che fa parte del sostrato di cui l'altro non si dica".

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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