C*-algebra

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In matematica, una C*-algebra è un'algebra complessa A di operatori lineari continui (limitati) definiti su uno spazio di Hilbert compllesso con due proprietà aggiuntive:

  • A è chiuso rispetto all'operazione di prendere l'aggiunto di un operatore.

L'interesse per le C*-algebre è nato con la meccanica quantistica dove vengono usate per modellare le algebre degli osservabili. Questa linea di ricerca inizia in forma rudimentale con la meccanica matriciale di Werner Karl Heisenberg e in una forma matematicamente più evoluta con Pascual Jordan nel 1933. Successivamente, John von Neumann cerca di sistematizzarne lo studio arrivando a pubblicare un'importante serie di articoli sugli anelli di operatori, in cui vengono considerate delle speciali classi di C*-algebre, oggi chiamate algebre di von Neumann.

Intorno al 1943 il lavoro di Izrail' Moiseevič Gel'fand, Mark Naimark e Irving Segal porta alla caratterizzazione astratta delle C*-algebre che non fa più riferimento agli operatori.

Le C*-algebre costituiscono oggigiorno un importante strumento nella teoria delle rappresentazioni unitarie dei gruppi localmente compatti, oltre ad essere usate nella formulazione algebrica della meccanica quantistica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una C*-algebra A è un'algebra di Banach su campo complesso, assieme ad una involuzione * : A \to A che manda x in x^* e che gode della proprietà:

\| x^*  x \| = \| x \|^2 \qquad \forall x\in A

Nonostante l'apparente semplicità, questa uguaglianza permette di ricavare un numero notevole di risultati. Si tratta della caratterizzazione astratta di C*-algebra data in un articolo del 1943 da Gel'fand and Naimark.

La definizione di C*-algebra non implica che A debba avere un'unità, ciò nonostante si può dimostrare che esiste un'unica C*-algebra A_1 con unità che contiene A come ideale e tale che A_1 \setminus A abbia dimensione 1. In questo modo si può definire lo spettro anche per gli elementi di una C*-algebra A senza unità considerandoli come elementi di A_1.

Se A e B sono C*-algebre, un omomorfismo algebrico \rho : A \to B viene chiamato *-omomorfismo se rispetta l'involuzione, ovvero se:

 \rho(x^*) = \rho(x)^* \qquad \forall x\in A

Come sempre se un *-omomorfismo è biettivo lo si chiama *-isomorfismo e si dice che le due C*-algebre sono isomorfe. Se non c'è rischio di confusione, si può tralasciare il "*-" iniziale. Si dimostra che un qualsiasi *-homomorfismo è limitato con norma minore o uguale a 1 (e quindi, in particolare, che un *-isomorfismo è un'isometria).

Ogni C*-algebra è anche una B*-algebra, perché:

\| x \|^2 = \| x^* x \| \le \| x^* \| \| x \|

quindi \| x \| \le  \| x^* \| se x non è nullo, e sostituendo x^* a x si conclude che:

\| x \| = \| x^* \|

In parallelo con la teoria degli operatori, un x \in A viene chiamato:

Esempi[modifica | modifica sorgente]

C*-algebre a dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

L'algebra M_n(\C) delle matrici n \times n su campo complesso diventa una C*-algebra se viene dotata della norma usuale quando considerata come spazio degli operatori su \C^n, e se si prende come involuzione di una matrice la sua aggiunta.

Più in generale si possono considerare somme dirette di algebre matriciali. Infatti si dimostra che tuttle le C*-algebre a dimensione finita sono di questa forma (teorema di Artin-Wedderburn perché le C*-algebre a dimensione finita sono semisemplici).

C*-algebre di operatori[modifica | modifica sorgente]

L'esempio tipico di C*-algebra è l'insieme degli operatori limitati (i.e. continui) B(H) su uno spazio di Hilbert H dotato delle operazioni solite e con x^* che indica l'aggiunto di x. Infatti, per il teorema di Gel'fand-Naimark, ogni C*-algebra A è *-isomorfa ad una sottoalgebra (chiusa rispetto alla norma ed a * ) di B(H) per un opportuno spazio di Hilbert H.

C*-algebre commutative[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Lo spazio C_0(X) delle funzioni complesse a supporto compatto su X è una C*-algebra con le operazioni usuali e con l'involuzione data dalla coniugazione complessa punto per punto. Da notare che è unitaria solo se X è compatto.

Il teorema di rappresentazione di Gel'fand dice che ogni C*-algebra commutativa è *-isomorfa ad C_0(X) con X lo spazio dei caratteri (*-omomorfismi tra l'algebra e \C) dotato della topologia debole (è localmente compatto perché i caratteri hanno norma 1 e quindi si possono vedere come elementi della palla unitaria dello spazio duale). Inoltre se C_0(X) è isomorfo ad C_0(Y) allora segue che X ed Y sono omeomorfi, questa è la motivazione che sottostà ai metodi di indagine della geometria noncommutativa.

C*-algebra nucleare[modifica | modifica sorgente]

In matematica, una C*-algebra nucleare è una C*-algebra A tale che il prodotto tensoriale algebrico con qualsiasi altra C*-algebra B, ossia l'algebra A \otimes B, ammetta una ed una sola norma C*.

Tutte le C*-algebre abeliane sono nucleari.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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