Norma operatoriale

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In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Considerando due spazi normati V e W sul medesimo campo \R o \C, una trasformazione lineare A : V \to W è continua se e solo se esiste un numero reale c tale per cui:

\|Av\|_W \le c \|v\|_V \quad \forall v\in V

Intuitivamente, l'operatore A non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di c. In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo c tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni v:

\|A\|_{op} = \min\{c\ge 0 : \|Av\| \le c \|v\| \mbox{ per ogni } v\in V\}

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

 \begin{align}
\|A\|_{op} &= \sup\{\|Av\| : v\in V \mbox{ con }\|v\| \le 1\} \\
&= \sup\{\|Av\| : v\in V \mbox{ con }\|v\| < 1\} \\
&= \sup\{\|Av\| : v\in V \mbox{ con }\|v\| = 1\} \\
&= \sup\left\{\frac{\|Av\|}{\|v\|} : v\in V \mbox{ con }v\ne 0\right\}
\end{align}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da V in W, che significa:

  • \|A\|_{op} \ge 0 e \|A\|_{op} = 0 se e solo se A = 0 .
  • Si verifica:
\|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op} \quad \forall a
dove a è uno scalare.
  • Valgono le disuguaglianze:
\|A + B\|_{op} \le \|A\|_{op} + \|B\|_{op} \qquad \|Av\| \le \|A\|_{op} \|v\| \quad \forall v\in V

Se V, W e X sono spazi normati sullo stesso campo e A : V \to W, B : W \to X sono operatori limitati, allora:

\|BA\|_{op} \le \|B\|_{op} \|A\|_{op}

Per gli operatori limitati su V questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Sia H uno spazio di Hilbert reale e A : H \to H un operatore lineare limitato. Allora si ha:

\|A\|_{op} = \|A^*\|_{op}

e inoltre:

\|A^*A\|_{op} = \|A\|_{op}^2

dove A^* è l'operatore aggiunto di A (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rapprersentato dalla matrice trasposta coniugata di A).

In generale, il raggio spettrale \rho(A) di A è limitato dalla norma operatoriale di A:

\rho(A) \le \|A\|_{op}

Quando una matrice N è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

\rho(N) = \|N\|_{op}

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato N. Lo spazio degli operatori limitati su H con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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