Criterio di Sylvester

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In algebra lineare, il criterio di Sylvester è un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica o un prodotto scalare siano definiti positivi.

Stabilisce che una matrice hermitiana è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida sono positivi.

Il criterio[modifica | modifica sorgente]

Sia  A una matrice simmetrica reale di dimensione n. Per  i=1,\ldots, n , sia  d_i il determinante (minore) della matrice ottenuta cancellando da  A le ultime  n-i righe e le ultime  n-i colonne.

Il criterio di Sylvester asserisce che la matrice  A è definita positiva se e solo se  d_i > 0 per ogni  i .[1]

Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative: la matrice  A è definita negativa se e solo se  (-1)^i d_i > 0 per ogni  i .

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione nel seguito è valida per matrici hermitiane non singolari con coefficienti in \mathbb{R}, ovvero matrici simmetriche non singolari.

Una matrice simmetrica A è definita positiva se tutti i suoi autovalori \lambda sono maggiori di zero (\lambda > 0), mentre è detta definita non-negativa se \lambda \ge 0.

  • Teorema 1: Una matrice simmetrica A possiede autovalori non negativi se e solo se può essere fattorizzata come A = B^TB, e tutti gli autovalori sono positivi se e solo se B è non singolare.
Per dimostrare l'implicazione diretta, si nota che se A \in \mathbb{R}^{n \times n} è simmetrica allora per il teorema spettrale è diagonalizzabile: esiste una matrice ortogonale P tale che A=PDP^T, dove D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_3) è una matrice diagonale reale con sulla diagonale gli autovalori di A (che sono gli stessi di P), e le colonne di P sono gli autovettori di A. Se \lambda_i \ge 0 per ogni i allora D^{1/2} esiste, e si ha:
A=PDP^T=PD^{1/2}D^{1/2}P^T = B^T B
per B=D^{1/2}P^T, dove \lambda_i \ge 0 per ogni i se B è non singolare.
Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se A può essere fattorizzata come A=B^T B allora tutti gli autovalori di A sono non negativi perché per ogni coppia (\lambda,x) si ha:
\lambda = {\frac{x^TAx}{x^Tx}}={\frac{x^TB^TBx}{x^Tx}}={\frac{||Bx||^2}{||x||^2}} \ge 0
Per dimostrare l'implicazione diretta, se A possiede pivot positivi (quindi è possibile una decomposizione LU) allora è possibile una fattorizzazione del tipo A=LDU=LDL^T in cui D=\mathrm{diag}(u_{11}, u_{22}, \dots , u_{nn}) è la matrice diagonale contenente i pivot u_{ii}>0:
A =LU'= \begin{bmatrix}
1 & 0 & . & 0\\
l_{12} & 1 & . & 0 \\
. & . & . & . \\
l_{1n} & l_{2n} & . & 1 \end{bmatrix} x \begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & . & u_{1n}\\
0 & u_{22} & . & u_{2n} \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & u_{nn} \end{bmatrix} =LDU= \begin{bmatrix}
1 & 0 & . & 0\\
l_{12} & 1 & . & 0 \\
. & . & . & . \\
l_{1n} & l_{2n} & . & 1 \end{bmatrix} x \begin{bmatrix}
u_{11} & 0 & . & 0\\
0 & u_{22} & . & 0 \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & u_{nn} \end{bmatrix} x \begin{bmatrix}
1 & u_{12}/u_{11} & . & u_{1n}/u_{11}\\
0 & 1 & . & u_{2n}/u_{22} \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & 1 \end{bmatrix}
Per l'unicità della decomposizione LDU così effettuata, la simmetria di A produce il fatto che U=L^T, di conseguenza A=LDU=LDL^T. Ponendo R=D^{1/2}, dove D^{1/2}=\mathrm{diag}(\scriptstyle\sqrt{u_{11}},\scriptstyle\sqrt{u_{22}},\dots,\scriptstyle\sqrt{u_{11}}), la simmetria di A conduce alla fattorizzazione desiderata in quanto:
A=LD^{1/2}D^{1/2}L^T=R^T R
e R è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi.
Per ottenere l'implicazione inversa, se A=RR^T con R una matrice triangolare inferiore, allora la fattorizzazione è:
R =LD= \begin{bmatrix}
1 & 0 & . & 0\\
r_{12}/r_{11} & 1 & . & 0 \\
. & . & . & . \\
r_{1n}/r_{11} & r_{2n}/r_{22} & . & 1 \end{bmatrix} x \begin{bmatrix}
r_{11} & 0 & . & 0\\
0 & r_{22} & . & 0 \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & r_{nn} \end{bmatrix}
dove L è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e D è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi r_{ii} . Di conseguenza, A=LD^2 L^T è la fattorizzazione LDU di A, e così i pivot devono essere positivi perché sono la diagonale di D^2.
  • Teorema 3: Sia A_k la principale sottomatrice di guida di dimensione k \times k di A_{n \times n}. Se A posside una fattorizzazione LU allora \det (A_k)=u_{11} \cdot u_{22} \cdot \dots u_{kk} e il k-esimo pivot è u_{kk} = \det (A_1)=a_{11} per k=1, mentre è u_{kk} = \det (A_k) / \det (A_{k-1})=a_{11} per k=2,3, \dots, n.

Combinando i teoremi 1, 2 e 3 si conclude che:

  • Se la matrice simmetrica A può essere fattorizzata come A=R^TR, dove R è triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi positivi, allora tutti i pivot di A sono positivi per il teorema 2, e quindi tutti i minori principali di guida di A sono positivi per il teorema 3.
  • Se la matrice simmetrica non singolare A può essere fattorizzata come A=B^TB allora la decomposizione QR B=QR (legata al procedimento di Gram-Schmidt) di B produce A=B^TB=R^TQ^TQR=R^TR, dove Q è una matrice ortogonale e R è triangolare superiore. Si nota che questo enunciato richiede la non singolarità di A.

Dai risultati ottenuti, in particolare dalle due precedenti osservazioni e dal teorema 1, segue che se una matrice reale simmetrica A è definita positiva allora possiede una fattorizzazione della forma A=B^TB, dove B è non singolare. L'espressione A=B^TB implica che A può essere fattorizzata come A=R^TR, dove R è una matrice triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi maggiori di zero. In altre parole, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali di guida sono positivi. La validità della condizione necessaria e sufficiente è automatica in quanto è stata mostrata per ognuno dei teoremi enunciati.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

La matrice:

\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

è definita positiva, in quanto i determinanti:

\det (2) = 2 \qquad \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 6 \qquad \det \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} =1

sono tutti positivi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ "Matematica Numerica", Quarteroni, Sacco, Saleri, edizioni Springer, seconda edizione, §1.12

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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