Spazio localmente convesso

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In matematica, uno spazio localmente convesso è uno spazio vettoriale topologico che generalizza il concetto di spazio normato.

La topologia localmente convessa su uno spazio vettoriale topologico (reale o complesso) è una topologia formata da una base di insiemi convessi tale per cui le operazioni lineari sullo spazio sono continue. Non si tratta necessariamente di una topologia di Hausdorff.

Da un punto di vista analitico uno spazio localmente convesso può essere caratterizzato considerando uno spazio vettoriale topologico X nel quale è definita una famiglia P di seminorme. Lo spazio X viene detto localmente convesso se:

\cap_{p \in P} \{ x \in X | p(x)=0\} = \{0_{X}\}

La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è dunque la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio vettoriale sul un campo K, che può essere \R o \C. Si può definire la nozione di spazio localmente convesso sia utilizzando insiemi convessi, sia mediate una famiglia di seminorme.

Insiemi convessi[modifica | modifica sorgente]

Un sottoinsieme C di V può essere:

  • Un insieme convesso se tx+(1-t)y appartiene a C per tutti gli x,y \in C e per 1 \le t \le 1. In altri termini, C contiene tutti i segmenti che congiungono i suoi punti.
  • Un insieme circolare se \lambda x \in C per tutti gli x \in C quando | \lambda | = 1. Se K=\R, C è uguale alla sua riflessione rispetto all'origine. Se K=\C, allora per tutti gli x \in C l'insieme C contiene la circonferenza centrata nell'origine e passante per x nel sottospazio mono-dimensionale (complesso) generato da x.
  • Un cono se \lambda x \in C per tutti gli x \in C quando 0 \le \lambda \le 1.
  • Un insieme bilanciato se \lambda x \in C per tutti gli x \in C quando | \lambda | \le 1. Se K=\C, allora per tutti gli x \in C l'insieme C contiene il disco centrato nell'origine e la cui frontiera comprende x nel sottospazio mono-dimensionale (complesso) generato da x. In altri termini, si tratta di un cono circolare. Se K=\R e x \in C, allora C contiene il segmento congiungente x con -x.
  • Un insieme assorbente se V è l'unione degli insiemi tC per t >0. In modo equivalente, per ogni x \in C si ha che tx \in C per qualche t >0.
  • Un insieme assolutamente convesso se è bilanciato e convesso.

Uno spazio vettoriale topologico localmente convesso è uno spazio vettoriale topologico che ammette una base di intorni dell'orgine che sono di insiemi assorbenti assolutamente convessi.

Dal momento che la traslazione è una mappa continua (per definizione di spazio vettoriale topologico), tutte le traslazioni sono omeomorfismi e dunque ogni base locale può essere traslata nell'intorno di qualsiasi altro vettore diverso dall'origine.

Seminorme[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio localmente convesso è uno spazio vettoriale V con una famiglia di seminorme \{ p_\alpha \}_{\alpha \in A} su V. Lo spazio possiede una topologia naturale, la topologia iniziale generata dalla famiglia (numerabile) di seminorme. Si tratta ciè della topologia più grezza tale per cui tutte le funzioni:

\begin{cases}p_{\alpha,y}:V\to \R \\ x\mapsto p_\alpha(x-y) & y\in V, \alpha\in A\end{cases}

sono continue. Una base di intorni per V si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito B di A e per ogni \varepsilon > 0:

U_{B, \varepsilon}(y) = \{x \in V : p_\alpha(x - y) < \varepsilon \ \forall \alpha \in B\}

Si nota che:

U_{B,\varepsilon}(y) = \bigcap_{\alpha\in B} (p_{\alpha,y})^{-1}([0,\varepsilon))

Relativamente alla definizione "insiemistica", lo spazio vettoriale topologico risultante è localmente convesso in quanto ogni U_{B,\varepsilon}(0) è assolutamente convesso e assorbente.

Equivalenza delle definizioni[modifica | modifica sorgente]

Per un insieme assorbente C tale che se x \in C allora tx \in C per 1 \le t \le 1, si definisce il funzionale di Minkowski come:

\mu_C(x) = \inf \{\lambda > 0: x\isin \lambda C\}

Da tale definizione segue che \mu_C è una seminorma se C è bilanciato e convesso. Viceversa, data una famiglia di seminorme, gli insiemi:

\left \{x : p_{\alpha_1}(x) < \varepsilon, \cdots, p_{\alpha_n}(x) < \varepsilon \right \}

formano una base di insiemi assorbenti e bilanciati.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Più in generale, ogni spazio di Fréchet è uno spazio localmente convesso. Uno spazio di Fréchet può infatti essere definito come uno spazio localmente convesso equipaggiato con una famiglia separata di seminorme.
p_i \left(\left\{x_n\right\}_n\right) = \left|x_i\right| \qquad i \in \mathbf{N}
è uno spazio di Fréchet (non normabile) in quanto la famiglia di seminorme è completa e separabile.
  • Dato uno spazio vettoriale V ed una collezione F di funzionali lineari definiti su di esso, V può essere reso uno spazio vettoriale topologico localmente convesso (non normabile) munendolo della topologia più debole tale per cui i funzionali della famiglia sono funzioni continue.
p_{a,b} = \sup_x |x^a D^b f(x) |
che è separata e numerabile. Dato che lo spazio è completo, si tratta di uno spazio metrizzabile che è uno spazio di Fréchet, ed è noto come spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida. Il suo spazio duale è lo spazio delle distribuzioni temperate.
  • Dato uno spazio topologico X, lo spazio C(X) delle funzioni continue (non necessariamente limitate) su X può essere caratterizzato con la topologia della convergenza uniforme su insiemi compatti. Questa topologia è data dalla famiglia di seminorme:
\phi_K(f)=\max\{ | f(x)| : x \in K \}
dove V spazia sull'insieme diretto di tutti i sottoinsiemi compatti di X. Se V è localmente compatto (ad esempio, può essere un aperto di \R^n) allora nel caso di funzioni reali si applica il teorema di approssimazione di Weierstrass: ogni sottoalgebra di C(X) che separa i punti e contiene la funzione costante è un insieme denso.

Operatori lineari continui[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando le seminorme è possibile definire una condizione necessaria e sufficiente per la continuità delle mappe definite tra spazi localmente convessi, gli operatori lineari continui.

Dati due spazi localmente convessi V e W in cui sono definite rispettivamente due famiglie di seminorme \{ p_\alpha \}_{\alpha} e \{ q_\beta \}_{\beta }, una mappa lineare T :V \to W è continua se a soltanto se per ogni \beta esistono \alpha_1, \dots \alpha_n ed esiste M>0 tali che per tutti i vettori v \in V si verifica:

q_\beta(Tv)\le M \left (p_{\alpha_1}(v) +\dotsb+p_{\alpha_n}(v) \right )

In altri termini, ogni seminorma dell'immagine della funzione è limitata superiormente da una qualche somma finita di seminorme nel dominio della funzione.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Conway John B., A course in functional analysis, 2ª ed., Springer, 1997, ISBN 0-387-97245-5.
  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces , Addison-Wesley (1977) (Translated from French)
  • (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Macmillan (1966)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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