Catenaria

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La catenaria per diversi valori del paramentro a

Si definisce catenaria una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.

L'equazione della catenaria può essere espressa matematicamente tramite il coseno iperbolico:

y = a \cdot \cosh \left ({x \over a} \right ) = {a \over 2} \cdot \left (e^{x/a} + e^{-x/a} \right ).

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il primo ad occuparsi della catenaria fu Galileo Galilei nel 1638, pensando erroneamente che la forma di una fune appesa per i suoi estremi e sotto la forza di gravità, fosse una parabola [1].

Nel 1669 Joachim Jungius dimostrò che la curva in questione non era una parabola e, nel 1691, Huygens, Leibniz e i fratelli Bernoulli, dimostrarono che questa curva era una curva non algebrica, e fu battezzata “catenaria” dallo stesso Huygens.

La curva, detta anche funicolare o velaria, fu studiata anche da Eulero, il quale dimostrò nel 1744 che la sua rotazione attorno all’asse delle ascisse genera una superficie minima, che prese il nome di catenoide.

In ingegneria e in architettura[modifica | modifica wikitesto]

Il ponte ferroviario Garabit, progettato da Gustave Eiffel è sostenuto da una catenaria riflessa
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Arco catenario.

In considerazione del fatto che una catenaria ha la proprietà di avere in ogni suo punto una distribuzione uniforme del suo peso totale, questo tipo di curva è stata spesso utilizzata per realizzare manufatti e strutture architettoniche. Le strutture realizzate secondo tale curva subiscono soltanto sforzi a trazione, come le funi di sostegno nei ponti sospesi, oppure, in alternativa, a compressione, quando la struttura realizzata ha la forma di una catenaria riflessa rispetto ad una retta orizzontale, come nelle strutture di cupole (per esempio nella cupola di St Paul a Londra progettata da Robert Hooke, negli archi ideati per la prima volta con questa forma da Antoni Gaudí che introdussero l'uso della catenaria in architettura)[senza fonte] e ponti (per esempio nei ponti di Maillart o il viadotto ferroviario del Garabit).

Nei trasporti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Linea aerea di contatto.

Con il termine catenaria si indica l'insieme di conduttori elettrici da cui alcuni mezzi di trasporto ricevono la corrente elettrica necessaria alla loro alimentazione (il nome deriva evidentemente dalla curva che tali conduttori, sospesi alle due estremità, assumono). Tale prelievo avviene di norma attraverso i trolley e i pantografi.

Derivazione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Per derivare l'equazione della catenaria costruiamo un modello ad hoc. Supponiamo di avere una catena (o una fune) non estensibile in un campo di forza peso \vec{g}, che evidentemente rappresenta l'accelerazione di gravità che supponiamo diretta lungo i valori negativi dell'asse y. In ogni punto della catena agiranno sia la forza peso sia la tensione dei singoli elementi della catena; imponendo la condizione di equilibrio statico la risultante di tutte le forze lungo la catena deve essere nulla:

\vec{0}=\vec{F}_0+\vec{g}\int_0^s \mathrm{d}s'\lambda(s')+\vec{\tau}(s),

dove \vec{F}_0 è la forza che regge la catena agli estremi (equilibrando la forza peso), \lambda(s) è la densità lineare della massa lungo la catenaria, e \vec{\tau}(s) è la tensione nel punto s. Presumendo la densità lineare costante in ogni punto, \lambda(s)=\lambda_0 (assumendo dunque la catena come omogenea) e calcolando la derivata rispetto a s si ha

\vec{0}=\lambda_0\vec{g}+\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}(s)}{\mathrm{d}s}.

Ci interessa il grafico della curva nel piano (x,y), per cui consideriamo le due componenti x e y della tensione:

\frac{\mathrm{d}(\tau \cos{\vartheta})}{\mathrm{d}s}=0\qquad\qquad(1)
\frac{\mathrm{d}(\tau \sin{\vartheta})}{\mathrm{d}s}=\lambda_0 g\qquad\qquad(2)

dove

\vartheta=\arctan\left(\frac{y_{\tau}}{x_{\tau}}\right)

Dall'equazione (1) vediamo che \tau\cos{\vartheta}=c, dove c è una costante che in termini fisici possiamo intuire come dipendente dal materiale della catena, dunque

\tau=\frac{c}{\cos{\vartheta}}.

E sostituendo nella (2),

\frac{\mathrm{d}(\tan{\vartheta})}{\mathrm{d}s}=\frac{\lambda_0 g}{c}.\qquad\qquad(3)

Sappiamo che \mathrm{d}s rappresenta il differenziale dell'ascissa curvilinea nel piano (x,y), e si può esprimere come

\mathrm{d}s=\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\mathrm{d}x

e si ottiene dunque l'equazione differenziale

Calcoli
Si trova ds dalla (3) si ottiene
ds=d(\tan \vartheta)\frac{c}{\lambda_0 g}
Si sostituisca tale espressione nell'equazione differenziale dell'ascissa curvilinea
d(\tan \vartheta)\frac{c}{\lambda_0 g}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx
Il rapporto si può portare a secondo membro, portiamo poi dx a primo membro si ottiene
\frac{d(\tan \vartheta)}{dx}=\frac{\lambda_0 g}{c}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}
Prima di tutto sappiamo che y'=\frac{dy}{dx}, poi il vettore tensione è tangente alla curva, l'angolo che esso forma con l'asse orizzontale è \vartheta, questo è quindi anche l'angolo della tangente alla curva nel punto, significa quindi che
y'=\tan \vartheta
Derivando rispetto alla x otteniamo
y''=\frac{d(\tan \vartheta)}{dx}
Sostituendo le espressioni otteniamo infine l'equazione differenziale sotto.
y''=\frac{\lambda_0 g}{c}\sqrt{1+(y')^2},\qquad\qquad(4)

la cui soluzione con un paio di sostituzioni fa intuire un coseno iperbolico, e in forma esplicita è

Calcoli
Si effettui la seguente sostituzione
z=y'
Di conseguenza
z'=y''
Otteniamo
z'=\frac{\lambda_0 g}{c}\sqrt{1+z^2}
Esprimiamo le derivate con la forma differenziale in modo da separare le variabili
\frac{dz}{dx}=\frac{\lambda_0 g}{c}\sqrt{1+z^2}
Portiamo il dx a secondo membro e tutta la radice a primo membro, otteniamo
\frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{\lambda_0 g}{c}dx
Integrando si ottiene
\mbox{arsinh}(z)+c_1=\frac{\lambda_0 g}{c}x+c_2
che diventa
\mbox{arsinh}(z)=\frac{\lambda_0 g}{c}x+c_2-c_1=\frac{\lambda_0 g}{c}x+\alpha
Applichiamo poi la formula inversa di \mbox{arsinh}(z), otteniamo
z=\sinh \left(\frac{\lambda_0 g}{c}x+\alpha\right)
Sostituiamo infine di nuovo z, otteniamo
y'=\sinh \left(\frac{\lambda_0 g}{c}x+\alpha\right)
Integrando ancora si ottiene la formula sotto.
y(x)=\frac{c}{\lambda_0 g}\cosh{\left(\frac{\lambda_0 g}{c} x+\alpha\right)}+\beta,

dove \alpha e \beta sono le due costanti di integrazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ 00CopertinaCat

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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