Glossario di teoria dei gruppi

Un gruppo è un insieme munito di una operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

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A

Automorfismo

Per approfondire, vedi la voce Automorfismo.

Si dice automorfismo un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. L'insieme degli automorfismi di un oggetto matematico con l'operazione di composizione di funzioni forma un gruppo chiamato gruppo di automorfismi.

Automorfismo interno

Per approfondire, vedi la voce Automorfismo interno.

Un automorfismo interno di un gruppo $(G,*)$ è un automorfismo indotto da un elemento $g$ di $G$ della forma:

$T_g(x)=g^{-1}*x*g. \,\!$

Azione di gruppo

Per approfondire, vedi la voce Azione di gruppo.

Siano $G$ un gruppo ed $A$ un insieme, siano inoltre $g$ e $h$ due elementi di $G$ e $a$ un elemento di $A$. Si dice azione di gruppo una funzione:

$G \times A \to A \,\!$

$(g,a) \mapsto g \cdot a, \,\!$

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

• $e \cdot a=a \quad \forall a \in A;$
• $g \cdot (h \cdot a)=(gh) \cdot a \quad \forall g,h \in G, \ a \in A.$

C

Centralizzatore

Per approfondire, vedi la voce Centralizzatore.

Se $(G,*)$ è un gruppo e $g$ è un elemento di $G$ si dice centralizzatore di $g$ l'insieme:

$Z(g):=\{h \in G\, |\, g*h=h*g\}. \,\!$

Centro

Il centro di un gruppo $(G,*)$ è il sottoinsieme:

$C:=\{c \,|\, c*g=g*c\ \forall c \in G\}. \,\!$

Classe di coniugio

Per approfondire, vedi la voce Classe di coniugio.

Due elementi $a$ e $b$ di un gruppo $(G,*)$ si dicono coniugati tra loro se esiste un elemento $h$ di $G$ tale che $h^{-1}*a*h=b$. Una classe di coniugio è quindi un insieme di $G$ formato solo da elementi coniugati tra di loro, quindi la classe di coniugio di $a$ sarà:

$Cl(a):=\{g^{-1}*a*g\,|\,g \in G\}. \,\!$

Commutatore

Per approfondire, vedi la voce Commutatore.

Il commutatore di due elementi $a$ e $b$ di un gruppo $(G,*)$ è definito come l'elemento:

$[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1}, \,\!$

dove $a^{-1}$ e $b^{-1}$ sono gli inversi rispettivamente di $a$ e $b$. È da notare che se l'operazione $*$ gode della proprietà commutativa il commutatore di qualsiasi coppia di elementi di $G$ è uguale a:

$[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1}=a*a^{-1}*b*b^{-1}=1. \,\!$

E

Estensione di un gruppo

Dati due gruppi $H$ e $N$, si dice estensione del gruppo $N$ mediante $H$ il gruppo $G$ in cui esista un sottogruppo normale $\tilde{N}$ tale che $\tilde{N}$ è isomorfo ad $N$ e $G/\tilde{N}$ è isomorfo ad $H$.

G

Gruppo abeliano

Per approfondire, vedi la voce Gruppo abeliano.

Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua operazione binaria possiede la proprietà commutativa.

Gruppo ciclico

Un gruppo si dice ciclico se è generato da un insieme costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente all'unità), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo dei quaternioni

Per approfondire, vedi la voce Gruppo dei quaternioni.

Il gruppo dei quaternioni è un particolare gruppo non abeliano formato da otto elementi, è il più piccolo gruppo hamiltoniano ed è anche il secondo gruppo abeliano più piccolo, dopo il gruppo simmetrico $S_3$.

Gruppo diedrale

Per approfondire, vedi la voce Gruppo diedrale.

Un gruppo diedrale di ordine $2n$ è un gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari con $n$ lati.

Gruppo di Dedekind

Per approfondire, vedi la voce Gruppo hamiltoniano.

Un gruppo di Dedekind è un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo finitamente generato

Un gruppo si dice finitamente generato se esiste un suo generatore di ordine finito.

Gruppo finito

Per approfondire, vedi la voce Gruppo finito.

Un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi.

Gruppo generale lineare

Per approfondire, vedi la voce Gruppo generale lineare.

Il gruppo generale lneare, denotato spesso con $\mathrm{GL}(n,K)$, è il gruppo delle matrici invertibili n × n con elementi nel campo F; particolarmente importanti sono i gruppi lineari generali sul campo dei numeri reali e dei numeri complessi.

Gruppo hamiltoniano

Per approfondire, vedi la voce Gruppo hamiltoniano.

Un gruppo hamiltoniano è un gruppo non abeliano in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo libero

Per approfondire, vedi la voce Gruppo libero.

Un gruppo $G$ si dice libero se esiste un sottoinsieme $S$ di $G$ tale che è possibile scrivere ogni elemento di $G$ come prodotto di un numero finito di elementi di $S$ e dei suoi inversi in modo unico.

Gruppo nilpotente

Per approfondire, vedi la voce Nilpotente.

Un gruppo $G$ si dice nilpotente se la catena di sottogruppi normali:

$\{e\}=Z_0 \subseteq Z_1 \subseteq \dots \subseteq Z_n=G,$

con $Z_{k+1}/Z_k$ centro del gruppo quoziente $G/Z_k$, termina finitamente.

Gruppo risolubile

Un gruppo $G$ è risolubile se esiste una catena di sottogruppi

$\{e\}\subseteq H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots\subseteq H_n=G$

in cui ogni $H_i$ è normale in $H_{i+1}$ e il gruppo quoziente $H_i+1/H_i$ è abeliano.

Gruppo semplice

Per approfondire, vedi la voce Gruppo semplice.

Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dall'unità e da sé stesso. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

Gruppo simmetrico

Il gruppo simmetrico è il gruppo formato da tutte le permutazioni degli elementi di un insieme e dall'operazione di composizione di funzioni. Solitamente il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme di cardinalità $n$ viene indicato con $S_n$.

Gruppo quoziente

Per approfondire, vedi la voce Gruppo quoziente.

Se $G$ è un gruppo ed $N$ un sottogruppo normale di $G$ allora si dice gruppo quoziente o gruppo fattore di $G$ per $N$ l'insieme

$G/H=\{gH\, |\, g \in G \}=\{Hg\, |\, \forall g \in G \}$

dei laterali destri o sinistri di $G$.

I

Insieme generatore di un gruppo

Per approfondire, vedi la voce Insieme di generatori.

Se $(G,*)$ è un gruppo si dice che un sottoinsieme $S$ di $G$ è un insieme generatore del gruppo $G$ se per ogni elemento $g$ appartenente a $G$ si ha che $g=s_1*\dots *s_n$ con $s_1,\dots, s_n$ appartenenti a $S$.

Inverso

Per approfondire, vedi la voce Elemento inverso.

Se $(G,*)$ è un gruppo, $a$ e $b$ sono due elementi di $G$ si dice che $b$ è l'inverso di $a$ se $a*b=b*a=1$, spesso l'elemento inverso di un elemento $a$ viene indicato come $a^{-1}$.

Isomorfismo tra gruppi

Per approfondire, vedi la voce Isomorfismo tra gruppi.

Un omomorfismo tra due gruppi si dice isomorfismo se è anche biettivo.

L

Laterale

Per approfondire, vedi la voce Classe laterale.

Se $G$ è un gruppo, $H$ è un sottogruppo di $G$ e $g$ è un elemento di $G$ si dice laterale destro di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ l'insieme:

$Ha=\{ha\,|\,h \in H\}, \,\!$

e si dice laterale sinistro di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ l'insieme:

$aH=\{ah\,|\,h \in H\}. \,\!$

N

Normalizzatore

Per approfondire, vedi la voce Normalizzatore.

Se $(G,*)$ è un gruppo e $(S,*)$ è un sottogruppo di $G$ si dice normalizzatore di $S$ l'insieme:

$N_G(S):=\{h \in G\, |\, hS=Sh\} \,\!$

Nucleo di un omomorfismo tra gruppi

Per approfondire, vedi la voce Nucleo (matematica).

Se $G$ e $H$ sono due gruppi, il nucleo o kernel di un omomorfismo $\Omega:G \to H$ è l'insieme degli elementi di $G$ che hanno come immagine l'unità di $H$.

O

Omologia

Per approfondire, vedi la voce Omologia (topologia).

Un'omologia è una successione di gruppi abeliani assegnata ad un particolare oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo) che fornisce in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. Un'omologia su un oggetto $X$ viene indicata come:

$H_0(X),H_1(X),H_2(X),H_3(X),\dots$

Omomorfismo di gruppi

Per approfondire, vedi la voce Omomorfismo di gruppi.

Se $(G,*) \,\!$ e $(H,\star) \,\!$ sono due gruppi la funzione $f: G\to H$ si dice omomorfismo tra $G$ e $H$ se per ogni $a$ e $b$ appartenenti a $G$ si ha:

$f(a*b)=f(a)\star f(b) \,\!$

Ordine di un elemento

Se $(G,*)$ è un gruppo e $g$ è un elemento di $G$, si dice ordine di $g$ l'ordine del gruppo ciclico generato da $g$.

Ordine di un gruppo

Se $(G,*)$ è un gruppo, il suo ordine è la cardinalità dell'insieme $G$ cioè il numero dei suoi elementi. Spesso l'ordine di un gruppo $G$ viene indicato come $|G|$.

P

p-gruppo

Per approfondire, vedi la voce Gruppo primario.

Un gruppo primario (o p-gruppo) è un gruppo i cui elementi hanno un ordine che è potenza di un numero primo p.

Presentazione di un gruppo

Per approfondire, vedi la voce Presentazione di un gruppo.

Una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

• i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
• le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Problema di Burnside

Per approfondire, vedi la voce Problema di Burnside.

Il problema di Burnside è un quesito di teoria dei gruppi proposto nel 1902 da William Burnside. Il problema può essere formulato in questo modo:

Se un gruppo è finitamente generato e tutti i suoi elementi hanno ordine finito allora il gruppo è finito?

La risposta a questa domanda è stata dimostrata essere negativa nel 1964 da Golod e Šafarevič.

Prodotto diretto e semidiretto

Per approfondire, vedi la voce Prodotto diretto.

Il prodotto diretto di due gruppi $(G_1, *)$ e $(G_2, \star)$ è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano $G_1 \times G_2$ e definendo la legge di composizione:

$(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2):=(a_1 * b_1, a_2 \star b_2), \,\!$

dove $a_1,b_1 \in G_1$ e $a_2,b_2 \in G_2$.

Per approfondire, vedi la voce Prodotto semidiretto.

Il prodotto semidiretto è una generalizzazione del concetto di prodotto diretto. Un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_1, *)$ e $(G_2, \star)$ ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_1 \times G_2$. La legge di composizione però dipende anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi : (G_2, \star) \rightarrow Aut((G_1, *))$

Prodotto libero

Per approfondire, vedi la voce Prodotto libero.

Siano $G$ e $H$ due gruppi. Si definisce parola in <maht>G</math> e $H$ una successione finita di elementi $s_1 \dots s_n$ dove $s_i$ è un elemento di $G$ o di $H$.

Il prodotto libero $G*H$ tra $G$ e $H$ è il gruppo di tutte le parole in $G$ e $H$ a meno di una relazione di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

R

Rango di un gruppo abeliano

Il rango di un gruppo abeliano $G$ rappresenta la dimensione più grande gruppo abeliano libero contenuto in $G$.

Rappresentazione di un gruppo

Per approfondire, vedi la voce Rappresentazione di un gruppo.

Una rappresentazione di un gruppo $G$ su uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è un omomorfismo di gruppi da $G$ al gruppo generale lineare su V (spesso indicato con $\mathrm{GL}(V)$).

Relazione di congruenza

Per approfondire, vedi la voce Relazione di congruenza.

Se $(G,*)$ è un gruppo e $\sim$ è una relazione binaria su $G$ allora $\sim$ è una congruenza se:

• dato un generico elemento $a$ di $G$, $a \sim a$;
• dati i generici elementi $a$ e $b$ di $G$, se $a \sim b$ allora $b \sim a$
• dati i generici elementi $a$, $b$ e $c$ di $G$, se $a \sim b$ e $b \sim c$ allora $a \sim c$;
• dati i generici elementi $a$ e $b$ di $G$, se $a \sim b$ allora $a^{-1} \sim b^{-1}$
• dati i generici elementi $a_1$, $a_2$, $b_1$ e $b_2$ di $G$ se $a_1 \sim b_1$ e $a_2 \sim b_2$ allora $a_1*a_2 \sim b_1*b_2$.

Relazione di equivalenza

Per approfondire, vedi la voce Relazione di equivalenza.

Una relazione di equivalenza $\sim$ è una relazione binaria tra elementi di un insieme $A$ riflessiva, simmetrica e transitiva quindi

• $x \sim x \quad \forall x \in A$
• $x \sim y \,$ implica $y \sim x \quad \forall x,y \in A$
• $x \sim y \,$ e $y \sim z \,$ implicano $x \sim z \quad \forall x,y,z \in A$

Reticolo dei sottogruppi di un gruppo

Se $G$ è un gruppo allora il reticolo dei sottogruppi del gruppo $G$ è la struttura algebrica formata dall'insieme dei sottogruppi di $G$ e dall'operazione di inclusione fra insiemi.

Somma diretta

Per approfondire, vedi la voce Prodotto diretto.

Il prodotto diretto tra due gruppi scritti in forma additiva viene anche chiamato somma diretta.

Sottogruppo

Per approfondire, vedi la voce Sottogruppo.

Se $G$ è un gruppo rispetto all'operazione $*$ allora si dice sottogruppo un sottoinsieme di $G$ chiuso rispetto all'operazione $*$.

Sottogruppo caratteristico

Per approfondire, vedi la voce Sottogruppo caratteristico.

Un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene

Sottogruppo di torsione

Per approfondire, vedi la voce Sottogruppo di torsione.

Se $(G,*)$ è un gruppo il suo sottogruppo di torsione è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito. Gli elementi di un sottogruppo di torsione si dicono elementi di torsione.

Sottogruppo normale

Per approfondire, vedi la voce Sottogruppo normale.

Se $G$ è un gruppo si dice che il gruppo $H$ è un sottogruppo normale di $G$ se è un sottogruppo di $G$ e per ogni elemento $g$ di $G$ i laterali destri $Hg$ di H coincidono con i laterali sinistri $gH$ di H.

T

Tabella di Cayley

Per approfondire, vedi la voce Tabella di Cayley.

Tabella a doppia entrata che mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi di un gruppo finito, descrivendone quindi la struttura. Può essere usata per dedurre velocemente proprietà di un gruppo quali il centro o l'abelianità.

Teorema di isomorfismo

Per approfondire, vedi la voce Teorema di isomorfismo.

Nella teoria dei gruppi esistono tre teoremi di isomorfismo che definiscono degli isomorfismi tra vari oggetti della teoria dei gruppi.

Teorema di Lagrange

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Lagrange.

Il teorema di Lagrange è un enunciato che afferma che ogni sottogruppo di un gruppo finito ha ordine che divide l'ordine del gruppo. Quindi se $G$ è un gruppo e $S$ è un sottogruppo di $G$ allora l'ordine di $S$ divide l'ordine di $G$.

Teorema enorme

Per approfondire, vedi la voce Classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il teorema enorme è l'enunciato che elenca tutti tipi di gruppi finiti semplici esistenti, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Teoremi di Sylow

Per approfondire, vedi la voce Teoremi di Sylow.

Importanti teoremi riguardanti i $p$-gruppi.

U

Unità

Per approfondire, vedi la voce Elemento neutro.

Se $(G,*)$ è un gruppo, si dice unità o elemento neutro del gruppo $G$ l'elemento $g$ appartenete a $G$ tale che per ogni $a$ in $G$ si ha che $a*g=g*a=a$. L'unità di un gruppo $(G, *)$ si indica spesso con $e$ oppure $1_G$ o anche semplicemente come $1$.

Voci correlate

• Indici per la matematica

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