Prodotto libero

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Questo spazio topologico, detto bouquet ha come gruppo fondamentale il prodotto libero di due copie di \mathbb Z. Questo gruppo viene indicato con il simbolo \mathbb Z*\mathbb Z. I suoi elementi possono essere rappresentati come parole nelle lettere a e b (e anche a^{-1} e b^{-1})

In algebra, il prodotto libero di due gruppi G e H è un nuovo gruppo, generalmente indicato con

G* H.

Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in G e in H, considerate a meno di semplici operazioni.

La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano G e H due gruppi. Una parola in G e H è una successione finita di elementi

s_1\ldots s_n

dove ciascun s_i è un elemento di G o di H.

Il prodotto libero è definito come l'insieme formato da tutte le parole di questo tipo, considerate però a meno di una relazione di equivalenza. Due parole sono equivalenti se sono ottenute l'una dall'altra tramite un numero finito di mosse del seguente tipo:

  1. rimozione della lettera e, elemento neutro di G o di H;
  2. sostituzione di una coppia di lettere consecutive gg' appartenenti allo stesso gruppo G o H con l'elemento "gg'"
  3. l'inversa di una delle due mosse precedenti.

La definizione di prodotto libero è quindi la seguente.

Il prodotto libero G*H è l'insieme di tutte le parole in G e H, considerate a meno di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

Il concatenamento di due parole

s_1\ldots s_n, \quad t_1\ldots t_k

è la parola

s_1\ldots s_nt_1\ldots t_k.

Questa operazione risulta essere effettivamente ben definita e soddisfa gli assiomi di gruppo. L'elemento neutro è la parola vuota, o equivalentemente formata da una sola lettera, elemento neutro di G oppure H. L'elemento inverso di una parola

s_1\ldots s_n

è la parola

s_n^{-1}\ldots s_1^{-1}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Presentazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se i due gruppi G e H sono descritti tramite presentazioni come

G = \langle R_G \mid S_G \rangle
H = \langle R_H \mid S_H \rangle

dove R_G e S_G sono rispettivamente insiemi di generatori e relazioni, allora

G * H = \langle R_G \cup R_H \mid S_G \cup S_H \rangle.[1]

In altre parole, una presentazione per il prodotto libero è costruita unendo le due presentazioni.

Associatività e commutatività[modifica | modifica wikitesto]

I prodotti liberi

G* H, \quad H*G

sono naturalmente isomorfi (effettivamente, sono proprio lo stesso gruppo). Si può quindi dire che l'operazione * è commutativa. Tale operazione è anche associativa, nel senso che i gruppi

(G*H) * K, \quad G* (H*K)\,\!

sono isomorfi. Si possono quindi omettere le parentesi e parlare più in generale di prodotto libero fra k gruppi

G_1* \cdots *G_k.

L'operazione * ha anche un elemento neutro, il gruppo banale: infatti i gruppi

G*\{e\}, \quad G

sono isomorfi. Non esiste però l'elemento inverso per *: dato un gruppo G, non è possibile trovare un gruppo H per cui G*H è il gruppo banale, perché la sua cardinalità è grande almeno quanto quella di G.

Rappresentante ridotto[modifica | modifica wikitesto]

Ogni elemento di un prodotto libero G*H si esprime in modo unico come parola ridotta, ovvero come parola

s_1\ldots s_k

in cui valgono le proprietà seguenti:

  1. due lettere consecutive appartengono a gruppi distinti,
  2. nessun s_i è elemento neutro di G o di H.

Ogni parola può essere portata in forma ridotta facilmente con le mosse seguenti:

  1. se due lettere consecutive g_1g_2 appartengono allo stesso gruppo, sostituire la coppia con la lettera g definita come l'elemento g=g_1g_2;
  2. se un s_i è un elemento neutro, rimuoverlo.

La parola ridotta che rappresenta l'elemento neutro è la parola vuota, che non contiene lettere.

L'unicità della rappresentazione permette di capire agevolmente se due parole diverse rappresentano lo stesso elemento.

Cardinalità[modifica | modifica wikitesto]

Se G e H sono due gruppi non banali, allora il prodotto libero G*H ha cardinalità infinita. Infatti, presi un elemento g in G e h in H entrambi diversi dall'elemento neutro, il sottogruppo da loro generato è certamente infinito, perché contiene infiniti elementi di questo tipo:

g, gh, ghg, ghgh, ghghg, \ldots

Questi elementi sono tutti distinti perché espressi in forma ridotta.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Gruppo libero[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi gruppo libero.
Il gruppo fondamentale di questa rosa con 4 petali è il gruppo libero \mathbb Z* \mathbb Z* \mathbb Z *\mathbb Z di ordine 4.

Il gruppo libero di ordine k è il gruppo

\mathbb Z * \cdots * \mathbb Z

ottenuto come prodotto libero di k copie del gruppo degli interi \mathbb Z.

Prodotto di gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo

\mathbb Z_2 * \mathbb Z_2

può essere descritto come segue. Ciascun gruppo \mathbb Z_2 ha un solo elemento non banale: siano a e b gli elementi non banali dei due gruppi. Gli elementi del prodotto libero sono esattamente le parole seguenti:

e, a, b, ab, ba, aba, bab, abab, baba, \ldots

Il sottogruppo generato da ab

\{(ab)^n\} = \{\ldots, baba, ba, e, ab, abab, ababab, \ldots \}

ha indice 2 ed è isomorfo a \mathbb Z.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi teorema di Van Kampen.

L'operazione di prodotto libero è molto importante in topologia, perché legata ad una operazione chiamata bouquet. Questa operazione consiste nel costruire uno spazio topologico a partire da due spazi dati X e Y, identificando un punto di X con uno di Y. Il nuovo spazio topologico è generalmente indicato con il simbolo

X\vee Y.

Se gli spazi topologici X e Y sono connessi per archi e abbastanza "buoni" (cioè sono localmente contrattili) il gruppo fondamentale del bouquet è il prodotto libero dei gruppi fondamentali di X e Y:

\pi(X\vee Y) = \pi(X)* \pi(Y).

Questo fatto è conseguenza del teorema di Van Kampen. Ad esempio, il gruppo fondamentale di un bouquet di k circonferenze è il gruppo libero di ordine k.

Il gruppo fondamentale di un bouquet di due piani proiettivi è

\pi(\mathbb {RP}^2 \vee \mathbb {RP}^2) = \pi(\mathbb {RP}^2)*\pi(\mathbb {RP}^2) = \mathbb Z_2 * \mathbb Z_2,

prodotto libero di due gruppi ciclici. Tale gruppo è infinito.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) A.L. Shmel'kin, Free product of groups in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica