Tavola dei gruppi piccoli

Viene qui presentata una tavola dedicata ai gruppi finiti di ordine piccolo, cioè di cardinalità contenuta. Vengono elencati tutti i gruppi con al più 18 elementi.

Tavole di questo tipo, oltre a fornire numerosi esempi, sono anche utili per capire "che tipo di gruppo è" un gruppo dato (cioè, più formalmente, a quale di questi è isomorfo). Infatti in molti casi alcune semplici informazioni facilmente calcolabili, come la cardinalità e il fatto che sia abeliano o meno, sono sufficienti a determinare il gruppo dato.

Notazioni usate

• C_n: gruppo ciclico di ordine n, si assume come convenzione che C_n= { e, a, a², a³, a⁴, a⁵,..., a^n-1 }.
• D_n: gruppo diedrale di ordine 2n: D_n=$\langle r, s \mid r^{n} = 1, s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle$
• S_n: gruppo simmetrico di grado n, costituito dalle n! permutazioni di n oggetti.
• A_n: gruppo alternante di grado n, costituito dalle n!/2 permutazioni pari degli n oggetti.
• Dic_n: gruppo diciclico di ordine 4n.
• e: elemento neutro del gruppo.
• <a>: sottogruppo ciclico generato dall'elemento a.

La notazione G × H denota il prodotto diretto dei due gruppi G ed H. I gruppi abeliani e i gruppi semplici vengono segnalati. (Per i gruppi di ordine n < 60, i gruppi semplici sono precisamente i gruppi ciclici C_n, per n numero primo.) Per denotare la relazione di isomorfismo tra gruppi usiamo il segno di uguaglianza "=".

Nei grafi dei cicli dei gruppi l'elemento identità è raffigurato da un cerchietto nero.

Tavola

Ordine	Gruppo	Proprietà	Sottogruppi normali	Sottogruppi massimali	Grafo dei cicli
1	Gruppo banale = C1 = S1 = A2	abeliano	C1 = S1 = A2
2	C2 = S2	abeliano, semplice, il più piccolo gruppo non banale	{e}, C2 = S2	{e}
3	C3 = A3	abeliano, semplice	{e}, C3 = A3	{e}
4	C4	abeliano	{e}, <a2>, C4	<a2>
	Gruppo di Klein = C2 × C2 = D2	abeliano, il più piccolo gruppo non ciclico	{e}, <r>, <s>, <rs>, Dic1	<r>, <s>, <rs>
5	C5	abeliano, semplice	{e}, C5	{e}
6	C6 = C2 × C3	abeliano	{e}, <a2>, <a3>, C6	<a2>, <a3>
	S3 = D3	il più piccolo gruppo non abeliano	{e}, A3=<(1,2,3)>, S3	<(1,2)>, <(2,3)>, <(1,3)>, A3
7	C7	abeliano, semplice	{e}, C7	{e}
8	C8	abeliano	{e}, <a3>, <a2,a3>, C8	<a2,a3>
	C2 ×C4	abeliano
	C2 × C2 × C2 = D2 × C2	abeliano
	D4	non abeliano
	Gruppo dei quaternioni, Q8 = Dic2	non abeliano; il più piccolo gruppo hamiltoniano
9	C9	abeliano
	C3 × C3	abeliano
10	C10 = C2 × C5	abeliano
	D5	non abeliano
11	C11	abeliano, semplice
12	C12 = C4 × C3	abeliano
	C2 × C6 = C2 × C2 × C3 = D2 × C3	abeliano
	D6 = D3 × C2	non abeliano
	A4	non abeliano
	Dic3 = prodotto semidiretto di C3 e C4, dove C4 agisce su C3 per inversione	non abeliano
13	C13	abeliano, semplice
14	C14 = C2 × C7	abeliano
	D7	non abeliano
15	C15 = C3 × C5	abeliano
16	C16	abeliano
	C2 × C2 × C2 × C2	abeliano
	C2 × C2 × C4	abeliano
	C2 × C8	abeliano
	C4 × C4	abeliano
	D8	non abeliano
	Gruppo generalizzato dei quaternioni, Q16 = Dic4	non abeliano
	C2 × D4	non abeliano
	C2 × Q8	non abeliano
	Gruppo quasidiedrale di ordine 16	non abeliano
	Gruppo modulare di ordine 16	non abeliano
	Prodotto semidiretto di C4 e C4 dove un fattore agisce sull'altro per inversione	non abeliano
	Gruppo generato dalle matrici di Pauli	non abeliano
	G4,4	non abeliano
17	C17	abeliano, semplice
18	C18	abeliano
	D9	non abeliano
	C3 × S3	non abeliano
	C6 × C3	abeliano
	Prodotto semidiretto di C3 × C3 e C2	non abeliano

Questa tavola è opportuno sia estesa con ordini maggiori e con ulteriori caratterizzazioni dei gruppi (sottogruppi massimali, sottogruppi normali, tavole dei caratteri, ...).

Biblioteca dei gruppi piccoli

Il sistema di algebra computazionale GAP contiene la "Small Groups library" che consente di accedere alla descrizione dei gruppi di ordine "piccolo". Anche in questa biblioteca i gruppi sono presentati a meno di isomorfismo, cioè attraverso rappresentati delle classi di isomorfismo. attualmente la biblioteca contiene i seguenti gruppi:

• quelli di ordine non superiore a 2000, eccettuati quelli di ordine 1024 (si tratta di ben 423.164.062 gruppi);
• i gruppi di ordine 5⁵ e 7⁴ (92 gruppi);
• i gruppi di ordine qⁿ·p dove qⁿ è multiplo di 2⁸, 3⁶, 5⁵ o 7⁴ e dove p è un primo arbitrario diverso da q;
• quelli il cui ordine si fattorizza in al più 3 fattori primi.

Essa contiene descrizioni esplicite dei gruppi presentati in un formato leggibile da computer.

Questa biblioteca è stata costruita e organizzata da Hans Ulrich Besche, Bettina Eick ed Eamonn O'Brien; vedi il sito.

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