Disequazione irrazionale

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Una disequazione irrazionale è una disequazione nella quale l'incognita si trova sotto il segno di radice, come \sqrt{f(x)}\geq g(x).

Poiché le radici non sono sempre univoche, e quelle pari esistono solo se hanno argomento positivo o nullo, per quanto riguarda la soluzione di queste disequazioni è necessario distinguere quelle in cui l'incognita si trova sotto radice di indice pari e quelle dove la radice è di indice dispari.

Disequazioni con radice di indice pari[modifica | modifica sorgente]

Solitamente disequazioni di questo tipo si risolvono tramite sistemi di disequazioni.

Disequazioni con solo radicali[modifica | modifica sorgente]

Le disequazioni nella forma:

\sqrt[n]{A(x)} \geq \sqrt[n]{B(x)}\;
\sqrt[n]{A(x)} \leq \sqrt[n]{B(x)}\;

La soluzione equivale a mettere a sistema le condizioni di esistenza con la potenza n-esima di entrambi i membri

Disequazioni con radicale relazionato a polinomio[modifica | modifica sorgente]

Le disequazioni del tipo \sqrt[n]{f(x)} \geq g(x)\; sono equivalenti alla disgiunzione di due sistemi di disequazioni:


\left\{ \begin{matrix}f(x)\geq 0 \\
g(x) \geq 0  \\ f(x) \geq [g(x)]^n \end{matrix} \right.
\vee\; 
\left\{ \begin{matrix}f(x) \geq 0 \\ g(x)< 0 
\end{matrix} \right.

Infatti, nel primo sistema si impone l'esistenza della radice (prima disequazione), si considera il caso che g(x) sia positivo (seconda disequazione), e si eleva entrambi i membri alla n, in modo da eliminare la radice (terza disequazione). Nel secondo sistema, si pone l'esistenza della radice e si considera il caso che g(x) sia negativo. In questo caso non si possono elevare entrambi i membri alla n, perché i due termini sono discordi, ma non è necessario, perché se la radice esiste e g(x)<0, essendo la radice positiva, la disequazione di partenza è verificata.

Il primo sistema si può ridurre a due disequazioni considerando che la prima condizione viene sempre "assorbita" dalla terza perché se f(x) è maggiore di una potenza con indice pari, che è sempre maggiore di zero, allora è sicuramente maggiore di zero. I due sistemi si possono quindi ridurre a


\left\{ \begin{matrix}
g(x) \geq 0  \\ f(x) \geq [g(x)]^n \end{matrix} \right.
\vee\; 
\left\{ \begin{matrix}f(x) \geq 0 \\ g(x)<0\end{matrix} \right.

Esempio per la disequazione \sqrt{x+2} > x+2\;:


\left\{ \begin{matrix}x+2\geq 0 \\
x+2 < 0  \end{matrix} \right.
\vee\; 
\left\{ \begin{matrix}x+2\geq 0 \\
x+2>(x+2)^2 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -2 \\
x < -2  \end{matrix} \right.
\vee\; 
\left\{ \begin{matrix}x\geq -2 \\
-2<x<-1\end{matrix} \right.

1° sistema: impossibile; 2° sistema: -2 < x < -1; la soluzione è quindi -2 < x < -1.

Per le disequazioni del tipo \sqrt[n]{f(x)} \leq g(x)\; dobbiamo risolvere un unico sistema di tre disequazioni in cui: g(x)\; sia maggiore di 0, f(x)\; sia maggiore uguale di 0, la radice di f(x)\; elevata alla n sia minore di g(x)\; elevato alla n.

Il secondo sistema che appare nelle disequazioni con il segno di maggiore o maggiore o uguale in questo caso si può omettere, poiché se g(x)<0, si dovrebbe porre f(x), che è positivo, minore di g(x), che è negativo e quindi il sistema non avrebbe soluzioni.


\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\
f(x)\geq 0 \\
f(x) \leq [g(x)]^n  \end{matrix} \right.

Esempio per la disequazione \sqrt{x^2+1} < x+1\;


\left\{ \begin{matrix}x+1 \geq 0 \\
x^2+1\geq 0 \\
x^2+1 < (x+1)^2  \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x \geq -1 \\
\forall x\\
x>0  \end{matrix} \right.

La soluzione del sistema è quindi  x>0

Disequazioni con radice di indice dispari[modifica | modifica sorgente]

Una disequazione irrazionale con radice di indice dispari non necessita di una discussione come per quelle di indice pari, perché la radice ammette come radicando qualunque numero. Basta quindi, per risolvere la disequazione, elevare entrambi i membri a un'opportuna potenza che consenta di eliminare ogni radice.

Esempio: \sqrt[3]{x+1}<4\;

Si risolve, senza porre condizioni, elevando tutti e due i membri alla terza potenza, ottenendo x+1<64\;, quindi x<63\;

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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