Disequazione quadratica

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Una disequazione si dice disequazione di 2º grado o quadratica se in essa, una volta ridotta in una delle forme seguenti, compaiono termini quadratici, cioè potenze di ordine massimo uguale a 2.

Tutte le disequazioni quadratiche sono riconducibili, tramite le consuete semplificazioni a una forma del tipo:

  • ax^2+bx+c<0\;
  • ax^2+bx+c\leq 0\;
  • ax^2+bx+c>0\;
  • ax^2+bx+c\geq 0\;

Segno del trinomio di 2º grado[modifica | modifica sorgente]

È dato il trinomio ax^2+bx+c con a\neq0. Si vuole studiare il segno del trinomio, cioè si vuole individuare per quali valori di x il trinomio è positivo negativo o nullo. Anzitutto si calcolano le soluzioni dell'equazione associata:

ax^2+bx+c=0.

Si distinguono tre casi: \Delta>0 , \Delta=0 e \Delta<0.

Caso: DELTA POSITIVO \Delta>0[modifica | modifica sorgente]

Se il \Delta>0 l'equazione associata ha due soluzioni reali e distinte x_1 e x_2. In questo caso il trinomio è scomponibile secondo la formula

ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).

Per studiare il segno del trinomio basta studiare il segno del prodotto. Attenzione ci sono tre fattori: a, (x-x_1) e (x-x_2), il segno del prodotto si calcola mediante la nota regola dei segni. Infine bisogna ricordare che quando almeno uno dei fattori si annulla anche il prodotto, e quindi il trinomio, si annulla.

Il tutto è riassunto nelle due tabelle sottostanti.

Segno del trinomio di secondo grado: a>0 e \Delta>0.
Intervalli dell'asse reale x<x_1 x=x_1 x_1<x<x_2 x=x_2 x>x_2
segno di a +++ +++ +++
segno di x-x_1 --- 0 +++ +++
segno di x-x_2 --- --- 0 +++
segno del prodotto
segno del trinomio
+++ 0 --- 0 +++


Segno del trinomio di secondo grado: a<0 e \Delta>0.
Intervalli dell'asse reale x<x_1 x=x_1 x_1<x<x_2 x=x_2 x>x_2
segno di a --- --- ---
segno di x-x_1 --- 0 +++ +++
segno di x-x_2 --- --- 0 +++
segno del prodotto
segno del trinomio
--- 0 +++ 0 ---

OSSERVAZIONE. Il segno del trinomio ha lo stesso segno del coefficiente  a all'esterno dell'intervallo delle due soluzioni dell'equazione associata, cioè per x<x_1 \vee x>x_2, nell'intervallo delle due soluzioni il trinomio ha segno opposto a quello di a.

Caso: DELTA NULLO \Delta=0[modifica | modifica sorgente]

Se il \Delta=0 l'equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti x_1 (si dice che x_1 è una soluzione doppia o ha molteplicità 2). In questo caso il trinomio è scomponibile secondo la formula

ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)^2.

È fondamentale ricordarsi che il quadrato \left(x-x_1\right)^2 è sempre positivo o nullo mai negativo. Il quadrato si annulla in x=x_1.


Segno del trinomio di secondo grado: a>0 e \Delta=0.
Intervalli dell'asse reale x<x_1 x=x_1 x>x_1
segno di a +++ +++
segno di \left(x-x_1\right)^2 +++ 0 +++
segno del prodotto
segno del trinomio
+++ 0 +++


Segno del trinomio di secondo grado: a<0 e \Delta=0.
Intervalli dell'asse reale x<x_1 x=x_1 x>x_1
segno di a --- ---
segno di \left(x-x_1\right)^2 +++ 0 +++
segno del prodotto
segno del trinomio
--- 0 ---

OSSERVAZIONE. In questo caso il segno del trinomio ha lo stesso segno del coefficiente  a eccetto in x=x_1 dove il trinomio si annulla.

Caso: DELTA NEGATIVO \Delta<0[modifica | modifica sorgente]

Se il \Delta<0 l'equazione associata non ha soluzioni reali. È però possibile valutare comunque il segno del trinomio evidenziandolo come somma di quadrati.

ax^2+bx+c=a\left [  \left(x+\frac b {2a}\right)^2+\frac{-\Delta}{4a^2}\right ]

Notare che nella somma \left(x+\frac b {2a}\right)^2+\frac{-\Delta}{4a^2} il primo termine è un quadrato (dunque sempre positivo o nullo) e il secondo termine è sempre positivo in quanto il \Delta è negativo per ipotesi. Questa somma è dunque sempre positiva.

Il segno del prodotto e quindi del trinomio dipende unicamente dal coefficiente  a .

Ricapitolando quando \Delta<0

  • il trinomio sarà SEMPRE POSITIVO se a>0
  • il trinomio sarà SEMPRE NEGATIVO se a<0

OSSERVAZIONE. In questo caso il trinomio ha SEMPRE lo stesso segno del coefficiente  a .

Osservazioni pratiche valide per tutti e tre i casi[modifica | modifica sorgente]

  • Nello schema grafico del segno del trinomio si parte (a destra) e si termina (a sinistra) sempre con il segno di  a .
  • Se ci sono due soluzioni dell'equazione associata, tra le due soluzioni va messo il segno discorde a quello di  a .
  • Se non ci sono soluzioni dell'equazione associata si mette sempre e solo il segno di  a .

Tabella riepilogativa del segno del trinomio[modifica | modifica sorgente]

segno di a \Delta>0 \Delta=0 \Delta<0
a>0 asse x __x1___x2___
segno +++0----0++++
asse x ___x1___
segno ++++0+++
asse x _____
segno +++++
a<0 asse x __x1___x2___
segno ---0++++0----
asse x ___x1___
segno ----0---
asse x _____
segno -----

Metodi di risoluzione delle disequazioni di secondo grado[modifica | modifica sorgente]

Si consideri una disequazione di secondo grado scritta in forma normale:

 ax^2+bx+c>0 e a\neq0.

La seguente procedura vale anche per gli altri tre casi con <0 \le0 \ge0.

Metodo del segno del coefficiente a[modifica | modifica sorgente]

  1. Portare alla forma normale la disequazione di 2º grado
  2. Risolvere l'equazione associata
  3. Tracciare lo schema grafico del segno del trinomio
  4. Scegliere l'intervallo delle soluzioni in base al verso della disequazione.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Discriminante positivo[modifica | modifica sorgente]

Esempio 1: x^2-5x+6\leq 0\;. La disequazione è già in forma normale  a>0

Equazione associata: x^2-5x+6=0

\Delta = (-5)^2-4\cdot 1\cdot 6 = 1>0
Soluzioni dell'equazione associata x_1 = 2, x_2 = 3 .

Schema del segno del trinomio

asse x _____2______3_____
segno ++++++0------0+++++

Soluzioni Si chiede che il trinomio sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono i valori interni a 2 e 3, inclusi gli estremi: 2\le x\le 3.

Discriminante nullo[modifica | modifica sorgente]

Esempio 4: x^2-2x+1>0. La disequazione è già in forma normale  a>0

Equazione associata: x^2-2x+1=0

\Delta = 0
Soluzioni dell'equazione associata x_{1,2} = 1 doppia.

Schema del segno del trinomio

asse x ____1____
segno +++++0++++

Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo, quindi x\neq1.

Discriminante negativo[modifica | modifica sorgente]

Esempio 8: -x^2+x-3>0. La disequazione è già in forma normale  a<0

Equazione associata:

\Delta = -11<0, non ci sono soluzioni dell'equazione associata.

Schema del segno del trinomio

asse x ________
segno  --------

Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo, quindi la disequazione non ha soluzioni.

Metodo della parabola[modifica | modifica sorgente]

Si consideri la disequazione ax^2+bx+c>0 e la parabola y=ax^2+bx+c. In questo caso la disequazione è risolta quando il trinomio di 2º grado è positivo, cioè quando y (l'ordinata) è positiva, graficamente quando la parabola sta sopra l'asse x.

Segno dell'ordinata dei punti della parabola al variare di a e di \Delta.
Coefficiente a \Delta>0 \Delta=0 \Delta<0
a>0
Parabola 11.jpg
Parabola 12.jpg
Parabola 13.jpg
y>0 per  x<x_1 \vee x>x_2 y>0 per  x\neq x_1 y>0 \forall x \in \mathbb{R}
y=0 per  x=x_1 \vee x=x_2 y=0 per  x=x_1 y=0 \not\exists x \in \mathbb{R}
y<0 per  x_1<x<x_2 y<0 \not \exists x \in \mathbb{R} y<0 \not\exists x \in \mathbb{R}
a<0
Parabola 21.jpg
Parabola 22.jpg
Parabola 23.jpg
y>0 per  x_1<x<x_2 y>0 per  \not \exists x \in \mathbb{R} y>0 \not \exists x \in \mathbb{R}
y=0 per  x=x_1 \vee x=x_2 y=0 per  x=x_1 y=0 \not\exists x \in \mathbb{R}
y<0 per  x<x_1 \vee x>x_2 y<0 per  x \neq x_1 y<0 \forall x \in \mathbb{R}

Procedura per la risoluzione delle disequazioni di 2º grado con la parabola

  1. Mettere la disequazione in forma normale
  2. Scrivere l’equazione della parabola
  3. Stabilire il segno di a
  4. Trovare le eventuali ascisse dei punti intersezione della parabola con l’asse x
  5. Tracciare il grafico approssimativo della parabola (concaviltà e intersezioni asse x)
  6. Determinare le ascisse dei punti della parabola che hanno l’ordinata richiesta (y>0 o y<0)

Disequazione di quarto grado riconducibile ad un trinomio notevole[modifica | modifica sorgente]

Data una disequazione di quarto grado, con l'incognita elevata solamente alla quarta ed alla seconda, tale disequazione può essere ricondotta ad un'altra disequazione, la cui incognita è il quadrato dell'incognita della disequazione di partenza.

Esempio x^4-5x^2+6\leq 0\;

Sostituendo t=x^2 si ha

t^2-5t+6\leq 0\;

che si risolve come una normale disequazione facendo attenzione però che, alla fine, bisognerà sostituire i risultati ottenuti con x^2.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (IT) Dodero, Baroncini, Manfredi (1999): Lineamenti di Matematica 2 per il biennio delle scuole superiori, 2th edition, Ghisetti e Corvi Editori

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica