Disequazione lineare

In algebra, una disequazione nelle incognite $x_1, x_2, ..., x_n\;$ (in generale numeri reali) si dice lineare o di primo grado quando è riconducibile alla forma:

$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n > 0\;$

oppure

$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n < 0\;$

dove i coefficienti $a_1, a_2, ..., a_n\;$ possono essere interi, razionali o in generale reali.

Disequazione lineare ad un'unica incognita

È detta disequazione in un'incognita una disuguaglianza tra espressioni letterali verificata solo per particolari valori attribuiti all'incognita. È detta soluzione di una disequazione ogni numero che, sostituito all'incognita, verifica la disuguaglianza. Due disequazioni, nelle stesse incognite e aventi lo stesso dominio, sono dette equivalenti quando tutte le soluzioni dell'una sono soluzioni dell'altra, e viceversa. Una disequazione lineare ad un'incognita si può sempre ricondurre ad una delle seguenti forme:

$ax + b > 0\;$

oppure

$ax + b < 0\;$

dove $a\;$ e $b\;$ sono numeri reali, con $a\;$ positivo. Ciò non costituisce una limitazione perché, se fosse negativo, basterebbe cambiare il segno di entrambi i membri ed il verso della disequazione per ricondursi ad uno dei due casi precedenti. Sottraendo $b\;$ ad entrambi i membri e dividendo per $a\;$ si vede facilmente che le due disequazioni sono risolte, rispettivamente, da:

$x > -\frac{b}{a}$

e

$x < -\frac{b}{a}$

Il cambio del segno

Si ricordi che, nell'applicare il secondo principio di equivalenza al termine della disequazione, se si dovesse dividere per un numero negativo, il senso del segno di disuguaglianza viene invertito (es. -x<2, x>-2)

Disequazioni fratte

Proprio come quanto riguarda le equazioni, anche per le disequazioni lineari vale la seguente regola: una disequazione lineare si dice fratta se nel denominatore di almeno una frazione algebrica è presente l'incognita.

Risoluzione di disequazioni fratte

Differentemente da quanto avviene nelle equazioni, nelle disequazioni fratte, dopo aver applicato il secondo principio di equivalenza ed aver ridotto ogni frazione allo stesso minimo comune denominatore, esso non può essere soppresso moltiplicando esso stesso per entrambi i membri, poiché, non sapendo se esso sia negativo o positivo, non si sa nemmeno se si deve invertire o lasciare invariato il segno di disuguaglianza. Dunque, si procede separatamente per numeratore e denominatore.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica