Centralizzatore

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In algebra, e più specificamente in teoria dei gruppi, si intende per centralizzatore (o "centralizzante") di un dato elemento g appartenente ad un gruppo (G, *) l'insieme:

 Z(g) := \{ h \in G \mid h * g = g * h \}

In altre parole, Z(g) è l'insieme degli elementi di G che commutano con g.

Tale insieme si denota solitamente con Z(g), in sintonia con la convenzione di utilizzare la lettera Z (senza parametro) per indicare il centro di un gruppo (convenzione che a sua volta deriva dal tedesco Zentrum, centro).

Proprietà del centralizzatore[modifica | modifica sorgente]

Il centralizzatore di un qualsiasi elemento di G è un sottogruppo, e la verifica di questo fatto è semplice: siano h_1 e h_2 due elementi appartenenti al Z(g). Allora:

(h_1 * h_2) * g = h_1 * (h_2 * g) = h_1 * (g * h_2) = (h_1 * g) * h_2 = g * (h_1* h_2) \Rightarrow h_1 * h_2 \in Z(g)

Inoltre, se per assurdo ci fosse un elemento h tale che h commuti con g ma il suo inverso no, avremmo:

g * e = g * h * h^{-1} = h * g * h^{-1} \not = h * h^{-1} * g = g, dove e è l'identità del gruppo, e quindi g * e \not = g è un assurdo.

Infine, l'identità commuta con ogni elemento del gruppo, quindi \forall g \in G, e \in Z(g).

Il centralizzatore di un elemento si dice banale se coincide con il gruppo stesso. I centralizzatori sono evidentemente tutti banali nei gruppi abeliani, ed in generale il centralizzatore di un elemento g è banale se e solo se g appartiene al centro del gruppo.

Normalizzatore[modifica | modifica sorgente]

Un concetto correlato è quello di normalizzatore, indicato con NG(S) o semplicemente con N(S), la cui definizione si ottiene da quella di 'centralizzatore', sostituendo però il singolo elemento g con un sottoinsieme S di G (non necessariamente un sottogruppo di G).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il normalizzatore di S in G è quindi l'insieme NG(S) = {xG : xS = Sx}. Anche in questo caso, come si può banalmente dimostrare, N(S) è un sottogruppo di G. Ancora più banale è constatare che la definizione questa definizione sussume quella di 'centralizzatore' (è sufficiente sostituire g con il singleton \{\{ g \}\}
).

Il normalizzatore deve il suo nome al fatto che se il sottoinsieme S è anche un sottogruppo di G, allora N(S) è il più grande sottogruppo di G che abbia S come sottogruppo normale. Il normalizzatore non deve confuso con la chiusura rispetto al coniugio.

Sottogruppo auto-normalizzante[modifica | modifica sorgente]

Un sottogruppo H di G è detto un sottogruppo auto-normalizzante di G se NG(H) = H.

(nota: aggiungere tag per "centralizzante"; quest'ultimo termite è utilizzato su molti libri di algebra e algebra lineare come l'Hernstein. grazie)

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