Gruppo moltiplicativo

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In matematica e nella teoria dei gruppi il termine gruppo moltiplicativo si riferisce, a seconda del contesto ad uno dei seguenti concetti:

Schema del gruppo delle radici dell'unità[modifica | modifica sorgente]

Lo schema del gruppo delle radici ennesime dell'unità è per definizione il nucleo della n-mappa di potenza sul gruppo moltiplicativo  \scriptstyle\mathbf{GL}_1 , considerato come schema di gruppo. Perciò per qualsiasi intero n>1 possiamo considerare il morfismo sul gruppo moltiplicativo che prende le potenze n-esime, e assume un prodotto fibrato appropriato nel senso della teoria degli schemi di questo, con il morfismo e che funziona come identità.

Il risultante schema di gruppo vie scritto come \mu_n. Questo origina uno schema ridotto, quando lo poniamo su un campo  \scriptstyle\mathbb{K} , se e solo se la caratteristica di  \scriptstyle\mathbb{K} , non divide n. Questo da origine ad alcuni esempi chiave di schemi non riducibili (schemi con elementi nilpotenti nei loro fasci di struttura; per esempio \mu_p su un campo finito con p elementi per qualsiasi numero primop.

Questo fenomeno non è facilmente esprimibile nel linguaggio classico della geometria algebrica. Risulta che esso è di grande importanza, per esempio, nell'esprimere la teoria di dualità delle varietà abeliane nella caratteristica p (teoria di Pierre Cartier). la coomologia di

Galois di questo schema di gruppo è un modo per esprimere la teoria di Kummer.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ See Hazewinkel et. al. (2004), p. 2.

Riferimenti[modifica | modifica sorgente]

  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V.Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900

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