Piano di Fano
Il piano di Fano (dal matematico italiano Gino Fano) è il piano proiettivo costruito sul campo Z2, ed è quindi il piano proiettivo non banale col minor numero di elementi.
Il piano contiene 7 rette e 7 punti di coordinate omogenee.
- (0,0,1)
- (0,1,0)
- (0,1,1)
- (1,0,0)
- (1,0,1)
- (1,1,0)
- (1,1,1).
Un modo diverso per descrivere il piano di Fano è partire dai seguenti assiomi:
- ogni retta del piano ha almeno tre punti
- per ogni punto del piano passano almeno tre rette
- per ogni coppia di punti passa una e una sola retta
- ogni coppia di rette si incontra in uno e un solo punto
- ogni retta del piano ha al massimo tre punti
- per ogni punto del piano passano al massimo tre rette
Gli ultimi due sono quelli che veramente determinano il piano di Fano.
[modifica] Nomenclatura
Esiste una nomenclatura canonica per gli spazi proiettivi. In tale contesto si hanno i seguenti nomi per i punti:
- P, 0, 1, 00, 01, 10, 11
e le seguenti rette:
- 1 linea: L = {P, 0, 1}
- 2 linee: L0 = {P, 00, 10}, L1 = {P, 01, 11}
- 4 linee: L00 = {0, 00, 01}, L01 = {1, 00, 11}, L10 = {0, 10, 11}, L11 = {1, 10, 01}
Questo modo di numerare i punti e le linee si spiega con la formula della quantità di punti e linee; un piano proiettivo dove ogni linea contiene (n+1) punti totalizza T=1+n+n² punti[1].
Qui n=2 e T=7; nella formula 1+n+n²,
- 1 fa P e L (Punto e Linea)
- n=2 fa 0 e 1 colla numerazione binaria.
- n²=4 fa 00, 01, 10 e 11 colla numerazione binaria.
- E lo stesso ragionamento per le linee L0 L1 L00 L01 L10 L11[2].
Una nomenclatura alternativa è:
- punti: 1,2,3,4,5,6,(7 o 0)
- linee: {1,2,4},{2,3,5},{3,4,6},{4,5,7},{5,6,1},{6,7,2},{7,1,3}
Questa nomenclatura alternativa è spiegata da Coxeter[3]: ci sono 7 punti e 7 linee. In aritmetica modulare di congruenza modulo 7 si lavora dunque con l'insieme di numeri {0=7,1,2,3,4,5,6}. Si utilizza il suo insieme perfetto delle differenze che è {0,1,3}. Quest'insieme permette di generare 0 1 2 3 4 5 6 colla semplice tavola di sottrazione modulo 7 mostrata nella prossima illustrazione.
I 7 punti sono numerati di 0 a 6 e le 7 linee di 0 a 6, si costruisce la matrice quadrata delle linee e punti, si dà la risposta SI o NO: SI se la somma (modulo 7) degli indizi linea+punto è uno degli numeri 0, 1, 3 dell'insieme perfetto; NO in caso inverso.
[modifica] Note
- ^ (EN) Projective Geometry, H.S.M. Coxeter, Blaisdell (1946), Univ. Toronto Press (1974), Springer (2 éd., 1974, 1987, 1998, 2003) ISBN 978-038740623-7
- ^ (FR) Les fondements de la géométrie, Jacqueline Lelong-Ferrand, 1985
- ^ (EN) Projective Geometry, H.S.M. Coxeter, Blaisdell (1946), Univ. Toronto Press (1974), Springer (éd., 1974, 1987, 1998, 2003) ISBN 978-038740623-7 paragrafo 10.2
[modifica] Voci correlate
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