Funzione di Weierstrass

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Grafico della funzione di Weierstrass in [2,2]. Come si può notare nel cerchio, la funzione presenta auto similarità

In matematica, la funzione di Weierstrass è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto ma di non essere derivabile in nessuno. Deve il suo nome e la sua scoperta (nel 1872) a Karl Weierstrass.[1]

Storicamente, l'importanza della funzione è che si è trattata della prima funzione pubblicata in letteratura che corrisponde ad un controesempio all'affermazione che ogni funzione continua è derivabile a parte per un insieme di punti isolati del dominio.

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

La funzione è definita come:

f(x)= \sum_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x),

dove 0<a<1 e b è un intero positivo dispari tali che

 ab > 1+\frac{3}{2} \pi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," in: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, pages 71–74.;

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

(EN) Eric W. Weisstein, Weierstrass function in MathWorld, Wolfram Research.

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