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Funzione continua

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La funzione in rosso è continua, quella in blu non lo è

In matematica, una funzione continua è una funzione che, intuitivamente, fa corrispondere ad elementi arbitrariamente vicini del dominio elementi arbitrariamente vicini del codominio (anche se ci sono casi di funzioni continue "controintuitive").

Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate: la continuità di una funzione è uno dei concetti di base della topologia e dell'analisi matematica.

La continuità di una funzione può essere definita anche in modo locale: in questo caso si parla di continuità in un punto del dominio. Una funzione continua è, per definizione, continua in ogni punto del proprio dominio.

Una funzione che non è continua è detta discontinua, e i punti del dominio in cui non è continua sono detti punti di discontinuità.

Per esempio, la funzione h(t) che descrive l'altezza di un uomo rispetto alla sua età può essere vista come una funzione continua: in periodi brevi l'uomo cresce di poco. Al contrario, la funzione g(t) che rappresenta la quantità di denaro presente in un conto corrente nel tempo è una funzione discontinua, poiché prelievi e depositi le fanno fare salti da un valore all'altro.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

La continuità di una funzione è un concetto topologico, e quindi la definizione generale di funzione continua si sviluppa con funzioni tra spazi topologici. Lo stesso concetto è però usato in ambiti meno generali, soprattutto per quanto riguarda il suo utilizzo in analisi matematica: è spesso presentata la definizione di continuità solo per funzioni tra spazi metrici, o ancora, solo per funzioni di una variabile reale.

Funzioni reali[modifica | modifica wikitesto]

Il grafico della funzione presenta un salto in x0: la funzione non è continua

Nel caso di funzioni di una variabile reale, spesso la continuità è presentata come una proprietà del grafico: la funzione è continua se il suo grafico è formato da un'unica curva che non compia mai salti. Sebbene questa nozione possa essere usata nei casi più semplici per distinguere funzioni continue da funzioni discontinue, non è formalmente corretta, e può portare ad ambiguità o errori.

Definizione in termine di limite di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione si definisce continua nel punto del suo dominio se il suo limite per tendente a coincide con la valutazione della funzione in , ovvero con . In simboli:[1]

Tale definizione è usata maggiormente per funzioni definite su un intervallo della retta reale: infatti, essa ha senso solo se è un punto di accumulazione per il dominio di . Essa è comunque estendibile anche nel caso di domini più complicati, che comprendono punti isolati: in essi, risulta continua per una "verità vuota" (dall'inglese vacuous truth).

La funzione si dice continua se è continua in ogni punto del dominio.

Definizione epsilon-delta[modifica | modifica wikitesto]

Studiando la funzione nel punto , e scegliendo , basta scegliere per far sì che tutte le immagini dei punti in distino per meno di da

Una funzione definita su un sottoinsieme dei numeri reali a valori reali si dice continua in un punto se per ogni numero , arbitrariamente piccolo, esiste un secondo numero tale che, , la funzione dista da per meno di , ovvero:[1]

In linguaggio simbolico, una funzione è continua in un punto se:

Se questa proprietà vale per ogni punto nel dominio di definizione della funzione, allora si dice che la funzione è continua. In questo caso si dice che , che è l'insieme delle funzioni continue a valori reali e variabili in .

Più intuitivamente, se si vuole che la funzione disti di un valore piccolo da ci basta restringerci ad un intorno abbastanza piccolo del punto . Se questo è possibile qualunque sia la distanza scelta (a meno di restringere ulteriormente l'intorno di ), allora la funzione è continua in .

Questa definizione è equivalente a quella data in precedenza: essa è costruita dalla prima semplicemente esplicitando la definizione di limite di una funzione. È stata usata per la prima volta da Cauchy.[2]

Funzioni tra spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

f è continua in un punto x ∈ X se (e solo se) per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che f(U) ⊆ V. Intuitivamente, per quanto sia piccolo V esiste sempre un U contenente x che viene mappato in V.

La definizione di continuità data nel caso di funzioni reali può essere generalizzata in contesti più ampi, come quello degli spazi topologici.

Sia una funzione tra due spazi topologici e . Allora si dice continua se la controimmagine di ogni insieme aperto è aperta, ovvero se è un insieme aperto in qualunque sia l'insieme aperto di .[3]

Equivalentemente si può definire la continuità punto per punto: una funzione tra due spazi topologici e si dice continua in un punto del dominio se la controimmagine di ogni intorno di è un intorno di . Una funzione è quindi continua se lo è in ogni punto di .[3]

La definizione di continuità è strettamente legata alla topologia scelta nel dominio e nel codominio: funzioni continue con alcune scelte di topologia possono non esserlo con altre. Per esempio, la funzione identità è continua se lo spazio di arrivo ha la stessa topologia dello spazio di partenza, oppure se ne ha una meno fine, ovvero con meno aperti. Se invece lo spazio di arrivo ha una topologia più fine, con più aperti, la funzione identità non risulta continua.

Funzioni tra spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi metrici sono spazi topologici nei quali la topologia è generata da una base di intorni circolari.[4] Sia una funzione tra due spazi metrici e . La funzione f si dice continua in un punto se, per ogni scelta di , esiste un , tale che, per ogni punto che dista meno di da p, ovvero che:

si ha che dista per meno di da , ovvero:[5]

La definizione può essere scritta servendosi della nozione di intorno sferico centrato in , di raggio : in questo caso, la funzione è continua se implica che o, simbolicamente:

dove è l'insieme di definizione di .[5]

Nel caso di funzioni reali, le definizioni coincidono se le due distanze su dominio e codominio non sono altro che il modulo della differenza tra due valori in .

Inoltre, questa definizione è valida per funzioni definite e a valori in tutti gli spazi vettoriali normati, dove la distanza sia la norma della differenza tra due punti. In particolare, è valida in con la norma euclidea, ed estende quindi la definizione di continuità a funzioni di più variabili.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione cubica, espressa da un polinomio di terzo grado, è una funzione continua.

Sono esempi di funzioni continue:

  • Le funzioni costanti .
  • La funzione identità da uno spazio topologico allo stesso spazio , dove è la stessa topologia del dominio oppure una topologia meno fine.
  • Le funzioni che associano ad una coppia di numeri la somma , il prodotto o il rapporto sono continue nel loro insieme di definizione in .
  • Le trasformazioni lineari fra spazi euclidei
  • Le funzioni espresse da polinomi, come per esempio .
  • Le funzioni razionali, in tutti i punti in cui sono definite, ovvero in tutti i punti in cui non si annulla il denominatore.
  • La funzione esponenziale e il logaritmo naturale nei loro insiemi di definizione, ovvero e .
  • Le funzioni seno e coseno, ovvero e .
  • La funzione valore assoluto è continua (ma non derivabile in ).
  • La funzione di Cantor e la curva di Koch sono esempi di funzioni continue con struttura frattale.
  • La curva di Peano: una curva piana che ricopre l'intero quadrato.
La funzione di Heaviside presenta una discontinuità in 0.

Sono esempi di funzioni non continue:

Proprietà delle funzioni continue[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua a valori reali definita su un intervallo . Valgono:

  • Permanenza del segno: Se in un punto del suo dominio , allora esiste un intorno tale che in tutti i punti dell'intorno.
  • Teorema dei valori intermedi: Se e sono due punti del dominio, allora assume tutti i valori compresi fra e .
  • Teorema di Bolzano: Se e sono due punti del dominio tali che (ovvero se e hanno segno diverso), allora esiste almeno un tale che
  • Teorema di Weierstrass: Se l'intervallo è chiuso e limitato, ovvero se , allora ammette massimo e minimo, ovvero esistono due punti e tali che per ogni .
  • Se è biiettiva, e la sua immagine è un intervallo, anche la funzione inversa è continua. L'implicazione non vale in generale per le funzioni la cui immagine non è un intervallo.[6]

Sia una funzione tra spazi metrici. Valgono:

  • Teorema di Weierstrass: Se è uno insieme compatto, allora assume massimo e minimo in . In particolare esistono tali che per ogni .
  • Se è biunivoca e è compatto, allora è continua.
  • Teorema di Heine - Cantor: Se è compatto, allora è uniformemente continua.
  • Se , allora è continua se e solo se è continua ogni funzione . Questo risultato è valido quindi per le funzioni .[6]

Sia una funzione continua tra spazi topologici. Valgono:

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

La composizione di funzioni continue è una funzione continua, ovvero se e sono due funzioni continue, allora anche:

è una funzione continua.

Come conseguenza di questa proprietà si hanno le seguenti:

  • La somma di due funzioni continue è una funzione continua.
  • Il prodotto di due funzioni continue è una funzione continua.
  • Il quoziente di due funzioni continue è una funzione continua (nell'insieme di definizione, ovvero dove è diversa da 0).

In generale, l'inverso non è vero: ad esempio, se una funzione continua è somma di due funzioni, non è detto che entrambi gli addendi siano a loro volta funzioni continue.[6] Ad esempio se

allora e non sono continue, ma

sono entrambe continue su tutto . Analogamente se

allora e non sono continue, ma

è continua su tutto .

Successioni[modifica | modifica wikitesto]

L'animazione mostra una sequenza di funzioni continue che converge puntualmente a una funzione discontinua

Data una successione di funzioni continue tali che il limite:

esiste finito per ogni (convergenza puntuale), allora non è vero che è una funzione continua. Se però la successione converge uniformemente, allora il limite puntuale è continuo.[7]

Derivazione e integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione derivabile (o più in generale una funzione differenziabile) in un punto è sempre continua in quel punto. Non è vero il contrario: esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione valore assoluto, continua in 0 ma non derivabile nello stesso punto. Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la funzione di Weierstrass.

Una funzione continua è sempre integrabile secondo Riemann (e quindi anche secondo Lebesgue). Inoltre, ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua. Viceversa, non tutte le funzioni integrabili sono continue: per esempio, sono integrabili tutte le funzioni costanti a tratti.[8]

Altri tipi di continuità[modifica | modifica wikitesto]

Continuità per successioni[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione a valori reali è continua per successioni in se, per ogni successione a valori nel dominio della funzione e convergente a , la successione converge a .

Questa formulazione di continuità è dovuta ad Eduard Heine.

Una funzione continua è sempre continua per successioni, mentre, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue. L'inverso vale solo se il dominio è uno spazio sequenziale, come lo sono gli spazi primo-numerabili[9] e dunque in particolare gli spazi metrici: in questo caso, quindi, le due definizioni si possono considerare equivalenti.[10]

Continuità a sinistra e a destra[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione continua a destra

Una funzione reale si dice continua a destra in se:

dove il limite è inteso solo come limite destro.

Una funzione si dice continua a sinistra in se:

Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.

Queste proprietà non sono estendibili a funzioni a più di una variabile, in quanto nel piano, nello spazio, e generalmente in quando non esiste relazione d'ordine, ovvero non è possibile definire una "destra" o una "sinistra".

Semicontinuità[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, si trova in basso
Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione semicontinua.

Una funzione definita su uno spazio topologico a valori reali si dice semicontinua inferiormente in se per ogni esiste un intorno di tale che per ogni , si ha:

Se invece vale, per ogni :

la funzione viene detta semicontinua superiormente in .

Se la prima (o rispettivamente la seconda) proprietà vale in ogni punto del dominio, si dice che la funzione è semicontinua inferiormente (o rispettivamente semicontinua superiormente).

La semicontinuità (sia inferiore che superiore), è una proprietà più debole della continuità: esistono funzioni semicontinue ma non continue. Viceversa, una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente che semicontinua superiormente.

Continuità separata[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Continuità separata.

Nel caso di funzioni di più variabili, è possibile definire una condizione più debole di continuità, detta continuità separata: una funzione è continua separatamente in un punto rispetto a una delle variabili se è continua la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro , lasciando le restanti variabili fissate al valore assunto nel punto in esame.

Continuità uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Continuità uniforme.

Una condizione più forte (e globale) di continuità è quella di continuità uniforme: una funzione continua tra due spazi metrici si dice uniformemente continua se il parametro della definizione non dipende dal punto considerato, ovvero se è possibile scegliere un che soddisfi la definizione per tutti i punti del dominio.

Più precisamente, una funzione è uniformemente continua se, per ogni esiste un tale che, comunque presi due punti e nel dominio di che distano per meno di , allora le loro immagini e distano per meno di .[6]

Equicontinuità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equicontinuità.

Quando gli elementi di un insieme di funzioni continue hanno il medesimo modulo di continuità, si parla di insieme equicontinuo. Nello specifico, Siano e due spazi metrici e una famiglia di funzioni definite da in . La famiglia è equicontinua nel punto se per ogni esiste tale che per tutte le e per ogni tali che . La famiglia è equicontinua (in tutto ) se è equicontinua in ogni suo punto. La famiglia è uniformemente equicontinua se per ogni esiste tale che per tutte le e per ogni coppia di punti e in tali che .

Più in generale, quando è uno spazio topologico, un insieme di funzioni da in è equicontinuo nel punto se per ogni il punto possiede un intorno tale che:

Tale definizione è sapesso utilizzata nell'ambito degli spazi vettoriali topologici.

Spazio delle funzioni continue[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato e a valori reali:

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per e in tale insieme:

e per numero reale:

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su .

Se il dominio è compatto (e quindi per tutte le funzioni in vale il teorema di Weierstrass) nello spazio può essere definita una norma ponendo:

detta norma uniforme o norma del sup.

La coppia costituita dallo spazio e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Apostol, T.M., pp. 130-131
  2. ^ Judith V. Grabiner, Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus (PDF), in The American Mathematical Monthly, vol. 90, nº 3, marzo 1983, pp. 185–194, DOI:10.2307/2975545, JSTOR 2975545.
  3. ^ a b Manetti, Marco, pp. 44-45
  4. ^ Manetti, Marco, p. 50
  5. ^ a b Soardi, P.M., pp. 175-177
  6. ^ a b c d e Soardi, P.M., cap. 7
  7. ^ Giusti E., cap. 13
  8. ^ Soardi P.M., p.204 e pp. 295-301
  9. ^ "primo-numerabile" è la traduzione letterale del termine first-countable usato in lingua inglese. Nella letteratura matematica recente lo si preferisce a termine base locale numerabile per evitare possibili confusioni con il secondo assioma di numerabilità. Si ricorda che uno spazio topologico soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.
  10. ^ Arkhangel'skii, A.V., pp. 31-33

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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