Successione di Cauchy

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In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola , vi sono da un certo posto in poi infiniti elementi la cui distanza reciproca è inferiore ad . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin Louis Cauchy.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce successione di Cauchy una successione a valori in uno spazio metrico tale che per ogni esiste tale che per tutti gli si verifica:[1]

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente . Esiste allora un indice tale per cui:

Considerando allora e maggiori di si ha di conseguenza:

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'elemento al quale converge appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico hanno un limite in , allora viene chiamato spazio completo.[2] Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite tende a .

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Si dice diametro di un certo insieme in uno spazio metrico l'estremo superiore:

e si indica con:

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di Cauchy in . Allora è limitata in .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni esiste tale che:

e dunque esiste che soddisfa:

da cui:

Sia:

Allora:

Perciò è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Sia convergente. Allora è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni si può trovare tale che esiste che soddisfa:

Dunque esiste un indice di successione per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Sia , con compatto e una successione di Cauchy in . Allora converge a qualche punto di .

Infatti, sia, come da enunciato, una successione di Cauchy. Per ogni numero naturale, si costruisca nel seguente modo:

dove è la chiusura di (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

Inoltre:

che implica:

e quindi esiste un unico tale che per ogni . A questo punto, per ogni esiste tale per cui:

da cui:

che implica:

il che significa , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di Rk[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy a valori in , sia come per il teorema precedente:

Allora è possibile costruire per qualche un tale che . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme , e dall'altra c'è . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di .

Numeri razionali e numeri reali[modifica | modifica wikitesto]

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

dove sono i numeri di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 5
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 6

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

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