Successione di Cauchy

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In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola , da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce successione di Cauchy una successione a valori in uno spazio metrico tale che per ogni esiste tale che per tutti gli si verifica:[1]

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente . Esiste allora un indice tale per cui:

Considerando allora e maggiori di si ha di conseguenza:

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico hanno un limite in , allora viene chiamato spazio metrico completo.[2] Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo. Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite tende a .

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Si dice diametro di un certo insieme in uno spazio metrico l'estremo superiore:

e si indica con:

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di Cauchy in . Allora è limitata in .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni esiste tale che:

e dunque esiste che soddisfa:

da cui:

Sia:

Allora:

Perciò è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Sia convergente. Allora è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni si può trovare tale che esiste che soddisfa:

Dunque esiste un indice di successione per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Sia , con compatto e una successione di Cauchy in . Allora converge a qualche punto di .

Infatti, sia, come da enunciato, una successione di Cauchy. Per ogni numero naturale, si costruisca nel seguente modo:

dove è la chiusura di (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

Inoltre:

che implica:

e quindi esiste un unico tale che per ogni . A questo punto, per ogni esiste tale per cui:

da cui:

che implica:

il che significa , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di Rk[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy a valori in , sia come per il teorema precedente:

Allora è possibile costruire per qualche un tale che . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme , e dall'altra c'è . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di .

Numeri razionali e numeri reali[modifica | modifica wikitesto]

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

dove sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 5.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 6.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

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