Teorema di Weierstrass

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando l'omonimo teorema di approssimazione, vedi Teorema di approssimazione di Weierstrass.
Una funzione continua nell'intervallo [a,b] ammette un massimo e un minimo, rispettivamente in c e in d

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite in generale su spazi topologici (e dunque anche su qualsiasi spazio metrico).

Enunciato, per funzioni reali a una variabile reale[modifica | modifica wikitesto]

Sia un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia una funzione continua. Allora ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo .

Dimostrazione con la nozione di compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Poiché è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che è un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel è un compatto; quindi anche la sua immagine mediante sarà un compatto di , e dunque è provvista di massimo e minimo, ovvero assume un valore massimo e uno minimo in essa. Le loro controimmagini in sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo assoluti.

Dimostrazione con successioni di punti[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo e individuiamo una successione , , tale che per . Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che:

  • se , allora tale che .
  • se , allora tale che .

Per ogni scegliamo ora tale che . Siccome è limitato, la successione è limitata, quindi per il teorema di Bolzano - Weierstrass ammette una sottosuccessione convergente; sia il suo limite per Per la continuità di , abbiamo: per D'altra parte per . Per il teorema dell'unicità del limite si ha che e . Abbiamo quindi dimostrato che la funzione assume in il suo valore massimo.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto dove la funzione assume il suo valore minimo assoluto.

Necessità delle ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

Chiaramente il fatto che una funzione non soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass, non implica che non esistano massimo o minimo della funzione; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Weierstrass, la loro esistenza non è garantita. Inoltre, come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.

Controesempio nº1. La funzione nell'intervallo ridefinita in non è continua. Il teorema di Weierstrass non è quindi valido.
  • non continua: Si consideri tale che per e , che non è continua in . Il teorema non è applicabile, infatti non ha un minimo ma solo un estremo inferiore uguale a .
  • L'intervallo non è chiuso: Si consideri . Essa è continua nell'intervallo limitato , che però non è chiuso. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a .
  • L'intervallo non è limitato: Si consideri . Essa è continua , tuttavia l'intervallo è illimitato. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a .

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema nell'ambito degli spazi topologici ha la seguente forma:

Sia uno spazio topologico e sia continua in . Allora se è uno spazio compatto[1], ammette massimo e minimo assoluti in . Equivalentemente il teorema vale per i sottoinsiemi compatti di . La dimostrazione è quella riportata sopra usando la nozione di compattezza.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p.183

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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