Teorema di Weierstrass

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Una funzione continua nell'intervallo [a,b] ammette un massimo e un minimo, rispettivamente in c e in d

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite su spazi metrici e su spazi topologici.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua, allora ammette massimo e minimo assoluto nell'intervallo .

Dimostrazione con la nozione di compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Poiché è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che è un intervallo chiuso e limitato per il teorema di Heine-Borel, è un compatto e quindi anche la sua immagine mediante sarà un compatto. Di conseguenza, l'immagine di ammetterà massimo e minimo.

Dimostrazione con successioni di punti[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo e individuiamo una successione , , tale che per . Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che tale che . Per ogni scegliamo ora tale che . Per il teorema di Bolzano - Weierstrass la successione ha una sottosuccessione che converge verso quando . Per la continuità di abbiamo per . D'altra parte per . Quindi per l'unicità del limite abbiamo , cioè la funzione ha in il valore massimo assoluto.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto dove la funzione assume il valore minimo.

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema nell'ambito degli spazi metrici ha la seguente forma:

Sia uno spazio metrico e sia continua in . Allora se è compatto, ammette massimo e minimo assoluto in . La formulazione per spazi topologici è del tutto analoga se è uno spazio compatto.[1]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p.183

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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