Teorema di Weierstrass

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando l'omonimo teorema di approssimazione, vedi Teorema di approssimazione di Weierstrass.
Una funzione continua nell'intervallo [a,b] ammette un massimo e un minimo, rispettivamente in c e in d

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite in generale su spazi topologici (e dunque anche su qualsiasi spazio metrico).

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua, allora ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e uno di minimo assoluto nell'intervallo .

Dimostrazione con la nozione di compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Poiché è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che è un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel è un compatto; quindi anche la sua immagine mediante sarà un compatto di , e dunque è provvista di massimo e minimo, ovvero assume un valore massimo e uno minimo in essa. Le loro controimmagini in sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo assoluti.

Dimostrazione con successioni di punti[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo e individuiamo una successione , , tale che per . Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che tale che . Per ogni scegliamo ora tale che . Siccome è limitato, la successione è limitata, quindi per il teorema di Bolzano - Weierstrass ammette una sottosuccessione convergente; sia il suo limite per . Per la continuità di , abbiamo: per . D'altra parte per . Quindi per l'unicità del limite abbiamo , cioè la funzione ha in il valore massimo assoluto.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto dove la funzione assume il valore minimo.

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema nell'ambito degli spazi topologici ha la seguente forma:

Sia uno spazio topologico e sia continua in . Allora se è uno spazio compatto[1], ammette massimo e minimo assoluti in . Equivalentemente il teorema vale per i sottoinsiemi compatti di . La dimostrazione è quella riportata sopra usando la nozione di compattezza.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p.183

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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