Teorema di unicità del sollevamento

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Il teorema di unicità del sollevamento è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia. Il teorema mostra una proprietà cruciale dei rivestimenti.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di unicità del sollevamento asserisce che, se è connesso, due sollevamenti coincidenti in un punto devono coincidere su tutti i punti (sono cioè la stessa funzione). In altre parole:

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

ed una funzione continua

definita su uno spazio connesso . Siano inoltre

due sollevamenti della . Se esiste in tale che allora per ogni in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo l'insieme dei punti in cui i due sollevamenti coincidono:

Per ipotesi, è un elemento di . Mostriamo che ed il suo complementare sono entrambi aperti: poiché è connesso, seguirà che , e quindi che le due funzioni coincidono ovunque.

Dato in , sia un aperto connesso uniformemente rivestito di contenente . Siano le componenti connesse in contenenti rispettivamente e . Consideriamo l'aperto di :

Se appartiene ad , allora e quindi , e siccome la restrizione di all'aperto è iniettiva segue che per ogni in , e quindi è interamente contenuto in . Questo prova che è aperto.

Se non appartiene ad allora e sono disgiunti, e quindi lo sono anche ed : questo prova che il complementare di è aperto.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema è valido anche se è solo un omeomorfismo locale.

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