Complesso di catene

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In matematica un complesso di catene è un oggetto algebrico usato soprattutto in topologia algebrica. Consiste in una successione di gruppi abeliani e di funzioni fra questi che soddisfa alcune proprietà, utili a studiare e modellizzare gli spazi topologici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un complesso di catene è una successione di gruppi abeliani indicizzati da numeri interi e di omomorfismi

definiti anch'essi per ogni intero , tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale. In altre parole:

per ogni intero .

Un complesso di catene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

Un complesso di cocatene è una successione di gruppi abeliani e di omomorfismi

tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale:

Un complesso di cocatene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

Generalmente gli indici interi sono posizionati in basso (come pedici) per i complessi di catene, ed in alto (come apici) per i complessi di cocatene.

Omologia[modifica | modifica wikitesto]

In un complesso di catene, vale per ogni la relazione

L'omologia del complesso è quindi definita come il gruppo quoziente

che è definito per ogni intero . Analogamente si definisce una coomologia a partire da un complesso di cocatene.

Il complesso di (co-)catene è detto aciclico se l'omologia è banale per ogni . Un complesso di (co-)catene aciclico è una successione esatta.

Biografia[modifica | modifica wikitesto]