Gruppo quoziente

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In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Premessa[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo, e un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione d'equivalenza su definita, per ogni appartenenti a , da[1]

.

Si indica con la classe d'equivalenza

per ogni appartenente a (laterale destro di in ). In modo analogo è possibile definire la classe

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

.

Poiché è normale, , cioè i laterali coincidono.

Gruppo quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce gruppo quoziente l'insieme

delle classi d'equivalenza; la classe è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di , sicché

e

.

L'insieme può anche essere visto come l'insieme dei laterali di in .

Struttura di gruppo[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però è normale (come è stato assunto), si può munire di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in ; si definisce infatti il seguente prodotto:

ossia .

Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

  • se e (cioè se e , con ), allora , che appartiene a perché questo è normale; di conseguenza, , e il prodotto è ben definito;
  • l'elemento unità di è proprio (dove è l'elemento unità di ), in quanto, per ogni , si ha .
  • vale la relazione , perché (cioè è l'inverso di ).

Pertanto, è un gruppo.

Proiezione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:

.

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

per ogni appartenenti a . L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni , si ha

.

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme , dato che[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
  2. ^ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da a è l'insieme degli elementi di che la funzione applica nell'elemento neutro di (in questo caso, ).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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