Gruppo quoziente

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In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo G e un suo sottogruppo normale H.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Premessa[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo, e H un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione d'equivalenza su G definita, per ogni g, g' appartenenti a G, da[1]

g \sim g^{\prime} \quad \overset{def}{\Longleftrightarrow} \quad g^{\prime}g^{-1} \in H \quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime} = hg , \quad h \in H.

Si indica con [g] la classe d'equivalenza

[g] = \{hg \mid h \in H\} = Hg

per ogni g appartenente a G (laterale destro di H in G). In modo analogo è possibile definire la classe

[g]^{*} = \{gh \mid h \in H\} = gH

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

g \sim^{*} g^{\prime} \quad \overset{def}{\Longleftrightarrow} \quad g^{-1}g^{\prime} \in H \quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime} = gh , \quad h \in H.

Poiché H è normale, [g] = [g]^{*}, cioè i laterali coincidono.

Gruppo quoziente[modifica | modifica sorgente]

Si definisce gruppo quoziente G/H l'insieme

G/H = \{ [g] \mid g \in G \}

delle classi d'equivalenza; la classe [g] è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di G, sicché

g \not\sim g^{\prime} \Rightarrow [g] \cap [g^{\prime}] = \varnothing

e

\bigsqcup_{g \in G} [g] = G.

L'insieme G/H può anche essere visto come l'insieme dei laterali di H in G.

Struttura di gruppo[modifica | modifica sorgente]

L'insieme G/H è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però H è normale (come è stato assunto), si può munire G/H di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in G; si definisce infatti il seguente prodotto:

 * : G/H \times G/H \to G/H
gH * g^{\prime}H := gg^{\prime}H

ossia  \quad [g] * [g^{\prime}] := [gg^{\prime}].

Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

  • se a \sim a^{\prime} e b \sim b^{\prime} (cioè se a^{\prime} = ah e b^{\prime} = bk, con h,k \in H), allora (ab)^{-1}a^{\prime}b^{\prime} = b^{-1}a^{-1}a^{\prime}b^{\prime} = b^{-1}hb , che appartiene a H perché questo è normale; di conseguenza, ab \sim a^{\prime}b^{\prime}, e il prodotto è ben definito;
  • l'elemento unità di G/H è proprio [1] (dove 1 è l'elemento unità di G), in quanto, per ogni g \in G, si ha gH * 1H = (g1)H = gH.
  • vale la relazione [g]^{-1} = [g^{-1}], perché gH * g^{-1}H = (gg^{-1})H = 1H (cioè g^{-1}H è l'inverso di gH).

Pertanto, (G/H, *) è un gruppo.

Proiezione[modifica | modifica sorgente]

Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:

\pi : G \to G/H
g \to [g].

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

\pi(gg^{\prime}) = \pi(g) * \pi(g^{\prime})

per ogni g, g^{\prime} appartenenti a G. L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni [g], si ha

\pi^{-1}([g]) \ni g.

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme H, dato che[2]

g \in \operatorname{Ker}(\pi) \Leftrightarrow \pi(g) = [1] \Leftrightarrow gH = 1H \Leftrightarrow g = 1h , h \in H \Leftrightarrow g \in H

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
  2. ^ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da G a F è l'insieme degli elementi di G che la funzione applica nell'elemento neutro di F (in questo caso, [1]).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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