Gruppo abeliano

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Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo è abeliano se

Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

I gruppi abeliani sono una generalizzazione dell'operazione aritmetica di somma sui numeri interi.

Un gruppo la cui operazione non è commutativa, viene chiamato gruppo non-abeliano o gruppo non-commutativo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, infatti, se a è l'elemento ciclico di G e

allora

In particolare, i numeri interi con l'usuale addizione sono un gruppo abeliano.

Ogni campo F dà origine in modo naturale a due gruppi abeliani: il gruppo additivo (F; +) se si considera solo la somma, il gruppo moltiplicativo (F \ {0}; ×) dato dagli elementi di F diversi da zero e considerando la sola operazione di prodotto. I numeri reali danno luogo a due gruppi abeliani nel modo suddetto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni gruppo abeliano G può essere dotato di una struttura di modulo sull'anello Z dei numeri interi nel seguente modo: per , l'elemento nx è definito come il multiplo -simo di x rispetto all'operazione di gruppo, vale a dire: nx := x+x+...+x con n addendi, (-n)x := -(nx). Di fatto, i moduli su Z possono essere identificati con i gruppi abeliani.

Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, si può perciò costruire il gruppo quoziente a partire da ogni sottogruppo. Sottogruppi, gruppi quoziente, prodotti e somme dirette di gruppi abeliani sono ancora gruppi abeliani.

Gli omomorfismi Hom(G,H) tra due gruppi abeliani G e H costituiscono a loro volta un gruppo abeliano definendo la somma come , dove .
Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se H e G non fossero abeliani, avremmo:

che differisce da

per l'ordine dei fattori, dimostrando che fg non è un omomorfismo.

I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppo, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.

In un gruppo abeliano G si può invertire il teorema di Lagrange, cioè se m divide n = |G| allora esiste (almeno) un sottogruppo di ordine m.

Numero di gruppi commutativi[modifica | modifica wikitesto]

Sebbene non esista una formula che esprima, per ogni n, il numero di gruppi di ordine n, essa tuttavia esiste nel caso di un gruppo abeliano: infatti, se

dove gli sono primi distinti, allora il numero di gruppi (non isomorfi tra loro) di ordine n è pari a

dove P(x) è la funzione di partizione; ovvero la numerosità dei gruppi non dipende dai fattori primi di n ma soltanto dai loro esponenti.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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