In algebra, il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza
-esima di un binomio qualsiasi mediante la formula[1]
,
in cui il fattore
rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con
. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.[2]
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a
,
ed
:



Nel caso in cui
sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di
reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di
in una sommatoria nella forma

dove
rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo
ad
e
a
, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

o, in maniera equivalente,

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente
qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

si ha



e moltiplicando la sommatoria per
si ha

da cui




Inoltre


Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

si ha che




Poiché infine

e

si ha che

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

che conferma la tesi.
Se scriviamo
come il prodotto
con
fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine
è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo
volte
e
volte
dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da
.
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di
da
a
, si ha subito la tesi.
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per
numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per
, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia
dove il resto
indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
,
dove
è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
.
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione
è

e, poiché



si ottiene

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al
-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine
.