Teorema binomiale

Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali.

« Il binomio di Newton è bello come la venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano. »

(Fernando Pessoa)

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$-esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

in cui il fattore ${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, $n=2$, $n=3$ ed $n=4$:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.$

Nel caso in cui $n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di $n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

Esposizione

È possibile, secondo il teorema, espandere una qualunque potenza intera di $(a+b)$ in una sommatoria nella forma

$\begin{align} (a+b)^n & = {n \choose 0}a^n b^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + {n \choose 3}a^{n-3}b^3 + \cdots \\ & {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n}a^0 b^n, \end{align}$

dove $\tbinom nk$ rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k.$

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$ ad $a$ e $a$ a $b$, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

$(1+a)^n = {n \choose 0}a^0 + {n \choose 1}a^1 + {n \choose 2}a^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}a^{n-1} + {n \choose n}a^n,$

o, in maniera equivalente,

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^k.$

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

$(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k$

sicuramente vera per $n+1$, si ha

$(a+b)^{n+1}$$=(a+b)(a+b)^n$

$=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

moltiplicando la sommatoria per $(a+b)$ si ha

$=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k} b^{k+1}$

da cui, essendo

$\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}$

$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^k$

$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}$

$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}$

ed inoltre

$\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}$

$= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}$

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

$(a+b)^{n+1}$

$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k} + {n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n} b^{n+1}$

$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}$

$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1}$

essendo infine

${n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1$

e

$\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1$

si ha che

${n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1} = {n+1 \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n+1 \choose n+1} b^{n+1}$

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

$(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k} a^{(n+1)-k}b^k$

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo $(a+b)^n$ come il prodotto

$(a+b)(a+b)(a+b)\, \quad \ldots$

con $n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^{n-k} b^k$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n-k$ volte $a$ e $k$ volte $b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${n \choose k}$.

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$ da $0$ a $n$, si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$ numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1 +x)^\alpha,\ \alpha\in \R$, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1 +x)^\alpha= 1 + \alpha x + o(x),$ dove il resto $o(x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

$(1 +x)^\alpha= 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2 + \frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}x^3 + \dots + {\alpha \choose k}x^k + o(x^k)$,

dove ${\alpha \choose k}$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

${\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha -1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!}$.

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione $(1+x)^\alpha$ è

$(1 + x)^\alpha = (1 + x)^\alpha_{x=0} + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^\prime_{x=0}}{1!} x + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^{\prime\prime}_{x=0}}{2!} x^2 + \dots + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^{(k)}_{x=0}}{k!} x^k + \dots$

e, poiché

$\left((1 + x)^\alpha \right)^\prime_{x=0} = \alpha (1 + x)^{\alpha-1}_{x=0} = \alpha$

$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$

$\left((1 + x)^\alpha \right)^{(i)}_{x=0} = \alpha (\alpha -1) \dots (\alpha - i +1)(1 + x)^{\alpha-i}_{x=0} = \alpha (\alpha -1) \dots (\alpha - i +1)$

si ottiene

$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha (\alpha -1) \dots (\alpha -k+1)}{k!} x^k + \dots$

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al $k$-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o(x^k)$.

Voci correlate

• Trinomio di Newton
• Teorema multinomiale
• Coefficiente binomiale