Teorema binomiale

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In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:


(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}

in cui il fattore {n \choose k} rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con  \frac{n!}{k!(n-k)!} . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, n = 2, n = 3 ed n = 4:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.

Nel caso in cui n sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di n reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

Esposizione[modifica | modifica sorgente]

È possibile, secondo il teorema, espandere una qualunque potenza intera di (a + b) in una sommatoria nella forma


\begin{align}
(a+b)^n & = {n \choose 0}a^n b^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + {n \choose 3}a^{n-3}b^3 + \cdots \\
& {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n}a^0 b^n,
\end{align}

dove  \tbinom nk rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k.

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo 1 ad "a" e "a" a "b", considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

(1+a)^n = {n \choose 0}a^0 + {n \choose 1}a^1 + {n \choose 2}a^2 +  \cdots + {n \choose {n-1}}a^{n-1} + {n \choose n}a^n,

o, in maniera equivalente,

(1+a)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^k.

Prima dimostrazione (induttiva)[modifica | modifica sorgente]

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k

sicuramente vera per n+1, si ha

(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n
=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

moltiplicando la sommatoria per (a+b) si ha

=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}
b^{k+1}

da cui, essendo

\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}
= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^k


= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}


= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}

ed inoltre

\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}
= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

(a+b)^{n+1}
={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k} + {n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n} b^{n+1}

={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}

={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n}
b^{n+1}

essendo infine

{n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1

e

\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1

si ha che

{n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n}
b^{n+1} = {n+1 \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n+1 \choose n+1}
b^{n+1}

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k} a^{(n+1)-k}b^k

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)[modifica | modifica sorgente]

Se scriviamo (a+b)^n come il prodotto

(a+b)(a+b)(a+b)\, \quad \ldots

con n fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine a^{n-k} b^k è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo n-k volte a e k volte b dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da {n \choose k}.

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di k da 0 a n, si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale[modifica | modifica sorgente]

Una dimostrazione possibile del caso (1 +x)^\alpha,\ \alpha\in {\mathbb R}, è attraverso le serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia (1 +x)^\alpha= 1 + \alpha\,x + o(x), dove il resto o(x) indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

(1 +x)^\alpha= 1 + \alpha\,x + \frac{\alpha\,(\alpha\,-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha\,(\alpha\,-1)(\alpha\,-2)}{6}x^3 + \dots + {\alpha \choose k}x^k + o(x^k),

dove {\alpha \choose k} è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

{\alpha \choose k} = \frac{\alpha\,(\alpha\,-1) \dots (\alpha\, - k + 1)}{k!}.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione (1+x)^\alpha è

(1 + x)^\alpha = (1 + x)^\alpha_{x=0} + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^\prime_{x=0}}{1!} x + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^{\prime\prime}_{x=0}}{2!} x^2 + \dots + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^{(k)}_{x=0}}{k!} x^k + \dots

e, poiché

\left((1 + x)^\alpha \right)^\prime_{x=0} = \alpha\,(1 + x)^{\alpha-1}_{x=0} = \alpha
\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots
\left((1 + x)^\alpha \right)^{(i)}_{x=0} = \alpha\,(\alpha\,-1) \dots (\alpha\, - i +1)(1 + x)^{\alpha-i}_{x=0} = \alpha\,(\alpha\,-1) \dots (\alpha\, - i +1)

si ottiene

(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha\,x + \frac{\alpha\,(\alpha\,-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha\,(\alpha\,-1) \dots (\alpha\,-k+1)}{k!} x^k + \dots

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al k-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine o(x^k).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica