Teorema binomiale

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Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali.
« Il binomio di Newton è bello come la venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano. »
(Fernando Pessoa)

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza -esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:[1]

in cui il fattore rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.[2]

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, , ed :

Nel caso in cui sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

In base all'ultimo teorema di Fermat, (per ) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di un numero intero.
Per assurdo, infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per potessi raccogliere qualche intero, posto al primo membro, potrei scrivere con x, s, z interi.

Esposizione[modifica | modifica wikitesto]

È possibile, secondo il teorema, espandere una qualunque potenza intera di in una sommatoria nella forma

dove rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo ad e a , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

o, in maniera equivalente,

Prima dimostrazione (induttiva)[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

sicuramente vera per , si ha

moltiplicando la sommatoria per si ha

da cui, essendo

ed inoltre

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

essendo infine

e

si ha che

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)[modifica | modifica wikitesto]

Se scriviamo come il prodotto

con fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo volte e volte dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da .

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di da a , si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale[modifica | modifica wikitesto]

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia dove il resto indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

,

dove è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione è

e, poiché

si ottiene

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, 1949, pp. 147–157.
  2. ^ I coefficienti binomiali e il binomio di Newton (PDF), lsgobetti.it.

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