Teorema binomiale

Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali.

« Il binomio di Newton è bello come la venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano. »

(Fernando Pessoa)

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$$n$-esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$$(a+b)^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k}}$

in cui il fattore ${n \choose k}$${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, $n=2$$n=2$, $n=3$$n=3$ ed $n=4$$n=4$:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$

Nel caso in cui $n$$n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di $n$$n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

In base all'ultimo teorema di Fermat, (per $n>2$$n>2$) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di un numero intero.
Per assurdo, infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per $n=3$$n=3$ potessi raccogliere qualche $z^{3}=3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$$z^{3}=3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$ intero, posto $s^{3}=(x+y)^{3}$$s^{3}=(x+y)^{3}$ al primo membro, potrei scrivere $s^{3}=x^{3}+z^{3}$$s^{3}=x^{3}+z^{3}$ con x, s, z interi.

Esposizione

È possibile, secondo il teorema, espandere una qualunque potenza intera di $(a+b)$$(a+b)$ in una sommatoria nella forma

${\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}$${\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{{n-1}}b^{1}+{n \choose 2}a^{{n-2}}b^{2}+{n \choose 3}a^{{n-3}}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{{n-1}}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}$

dove ${\tbinom {n}{k}}$${\tbinom nk}$ rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.$$(a+b)^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k}.$

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$$1$ ad $a$$a$ e $a$$a$ a $b$$b$, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

$(1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{n-1}+{n \choose n}a^{n},$$(1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{{n-1}}+{n \choose n}a^{n},$

o, in maniera equivalente,

$(1+a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}.$$(1+a)^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}a^{k}.$

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

$(a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b$$(a+b)^{1}=\sum _{{k=0}}^{1}{1 \choose k}a^{{(1-k)}}b^{{k}}=a+b$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k}$$(a+b)^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}a^{{(n-k)}}b^{k}$

sicuramente vera per $n+1$$n+1$, si ha

$(a+b)^{n+1}$$(a+b)^{{n+1}}$$=(a+b)(a+b)^{n}$$=(a+b)(a+b)^{n}$

$=(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$$=(a+b)\sum _{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k}}$

moltiplicando la sommatoria per $(a+b)$$(a+b)$ si ha

$=\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$$=\sum _{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n+1-k}}b^{{k}}+\sum _{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k+1}}$

da cui, essendo

$\ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$$\ \sum _{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n+1-k}}b^{{k}}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$$={n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=1}}^{{n}}\,{n \choose k}a^{{n+1-k}}b^{k}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}$$={n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\,{n \choose k+1}a^{{n+1-(k+1)}}b^{{k+1}}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}$$={n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\,{n \choose k+1}a^{{n-k}}b^{{k+1}}$

ed inoltre

$\ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$$\ \sum _{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k+1}}$

$=\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$$=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\,{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k+1}}+{n \choose n}b^{{n+1}}$

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

$(a+b)^{n+1}$$(a+b)^{{n+1}}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$$={n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{{n-k}}b^{{k+1}}+{n \choose n}b^{{n+1}}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$$={n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\,{n+1 \choose k+1}a^{{n-k}}b^{{k+1}}+{n \choose n}b^{{n+1}}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}$$={n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=1}}^{{n}}\,{n+1 \choose k}a^{{n+1-k}}b^{{k}}+{n \choose n}b^{{n+1}}$

essendo infine

${n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1$${n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1$

e

$\ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1$$\ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1$

si ha che

${n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}$${n \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=1}}^{{n}}\,{n+1 \choose k}a^{{n+1-k}}b^{{k}}+{n \choose n}b^{{n+1}}={n+1 \choose 0}a^{{n+1}}+\sum _{{k=1}}^{{n}}\,{n+1 \choose k}a^{{n+1-k}}b^{{k}}+{n+1 \choose n+1}b^{{n+1}}$

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

$(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}$$(a+b)^{{n+1}}=\sum _{{k=0}}^{{n+1}}\,{n+1 \choose k}a^{{(n+1)-k}}b^{k}$

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo $(a+b)^{n}$$(a+b)^{n}$ come il prodotto

$(a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots$$(a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots$

con $n$$n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^{n-k}b^{k}$$a^{{n-k}}b^{k}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n-k$$n-k$ volte $a$$a$ e $k$$k$ volte $b$$b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${n \choose k}$${n \choose k}$.

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$$k$ da $0$$0$ a $n$$n$, si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$$n$ numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb {R}$$(1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb{R}$, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),$$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),$ dove il resto $o(x)$$o(x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})$$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})$,

dove ${\alpha \choose k}$${\alpha \choose k}$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

${\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}$${\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}$.

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione $(1+x)^{\alpha }$$(1+x)^{\alpha }$ è

$(1+x)^{\alpha }=(1+x)_{x=0}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime \prime }}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(k)}}{k!}}x^{k}+\dots$$(1+x)^{\alpha }=(1+x)_{{x=0}}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{{x=0}}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{{x=0}}^{{\prime \prime }}}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{{x=0}}^{{(k)}}}{k!}}x^{k}+\dots$

e, poiché

$\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }=\alpha (1+x)_{x=0}^{\alpha -1}=\alpha$$\left((1+x)^{\alpha }\right)_{{x=0}}^{\prime }=\alpha (1+x)_{{x=0}}^{{\alpha -1}}=\alpha$

$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$

$\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(i)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{x=0}^{\alpha -i}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)$$\left((1+x)^{\alpha }\right)_{{x=0}}^{{(i)}}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{{x=0}}^{{\alpha -i}}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)$

si ottiene

$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots$$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots$

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al $k$$k$-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o(x^{k})$$o(x^{k})$.

Voci correlate

• Trinomio di Newton
• Teorema multinomiale
• Coefficiente binomiale
• Formule di Waring

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