Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.
Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine
oppure
, che sono quelle del quadrato e cubo del binomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili
e
in somme e prodotti di queste variabili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che:
e
.
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=s^{2}-2p;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1f70d20c14fe89d9082bc9389ac2521997a373)
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=s^{3}-3ps;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03971b842bd805d0841e2b780132632a1aef7c6)
![{\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a+b)^{4}-4a^{3}b-6a^{2}b^{2}-4ab^{3}=(a+b)^{4}-4ab(a^{2}+b^{2})-6a^{2}b^{2}=s^{4}-4p(s^{2}-2p)-6p^{2}=s^{4}-4ps^{2}+2p^{2};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d2aea1097b142a6b142d914f13f7398176a32b)
![{\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)^{5}-5ab(a^{3}+b^{3})-10a^{2}b^{2}(a+b)=s^{5}-5ps^{3}+5p^{2}s;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da139bcf4e95b2c08b9cf9f258ad89e52867556)
![{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a+b)^{6}-6ab(a^{4}+b^{4})-15a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-20a^{3}b^{3}=s^{6}-6ps^{4}+9p^{2}s^{2}-2p^{3};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ec5e525d659a694d53365a6a7a87ae4580f825)
![{\displaystyle a^{7}+b^{7}=(a+b)^{7}-7ab(a^{5}+b^{5})-21a^{2}b^{2}(a^{3}+b^{3})-35a^{3}b^{3}(a+b)=s^{7}-7ps^{5}+14p^{2}s^{3}-7p^{3}s;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b140859d045c5575a1476b915da862a8e26fd0c)
![{\displaystyle a^{8}+b^{8}=(a+b)^{8}-8ab(a^{6}+b^{6})-28a^{2}b^{2}(a^{4}+b^{4})-56a^{3}b^{3}(a^{2}+b^{2})-70a^{4}b^{4}=s^{8}-8ps^{6}+20p^{2}s^{4}-16p^{3}s^{2}+2p^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6d98e6c0e4a2aa477711fd59a0811b21063eb8)
Per il postulato di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza
Infatti la proprietà
è stata dedotta per
nei quali sono stati messi in evidenza i successivi passaggi algebrici, ed è perciò generalizzabile a
qualsiasi.
Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine
-esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili
e
È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.
La risoluzione con questo metodo per ogni potenza
è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza
per ogni termine del tipo
, ne esiste uno del tipo
. Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo
, per
, ossia
.
Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza
) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:
,
per
pari,
dove:
![{\displaystyle m=[1;n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51e3f17749a9cd3ee2040dbd96d2dc7b0078620)
con
numero intero.
Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza
-esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a
; o
, se
è dispari).
Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, a
qualsiasi.
![{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)^{n}-\sum _{i=1}^{f_{1}}T_{i}a^{i}b^{i}[a^{n-2i}+b^{n-2i}]-f_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a01c6242ebd66d418b5036f774aef741029a73)
dove:
- per
dispari,
e
;
- per
pari,
e
, con
coefficiente
-esimo del triangolo di Tartaglia per la potenza
, iniziando a contare da quello più a sinistra.